[論文レビュー] Parametric Strategy Iteration

Thomas Martin Gawlitza, Martin D. Schwarz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、実行時または設定パラメータを表す変数によってパラメータ化された整数方程式系の正確な最小解を計算するための新しいアルゴリズムであるパラメトリック戦略反復を提案する。戦略反復とパラメータ空間上の区分的アフィン関数を表現するためのリージョンツリーを組み合わせることで、非凸制約や高次なブール論理的複雑性を伴う複雑な制御フローを持つプログラムにおいても、定量的除去法の代替としてスケーラブルな多項式時間のパラメトリック解析を可能にする。

ABSTRACT

Program behavior may depend on parameters, which are either configured before compilation time, or provided at run-time, e.g., by sensors or other input devices. Parametric program analysis explores how different parameter settings may affect the program behavior. In order to infer invariants depending on parameters, we introduce parametric strategy iteration. This algorithm determines the precise least solution of systems of integer equations depending on surplus parameters. Conceptually, our algorithm performs ordinary strategy iteration on the given integer system for all possible parameter settings in parallel. This is made possible by means of region trees to represent the occurring piecewise affine functions. We indicate that each required operation on these trees is polynomial-time if only constantly many parameters are involved. Parametric strategy iteration for systems of integer equations allows to construct parametric integer interval analysis as well as parametric analysis of differences of integer variables. It thus provides a general technique to realize precise parametric program analysis if numerical properties of integer variables are of concern.

研究の動機と目的

• 設定値やセンサ入力などのパラメータに依存するプログラムの正確な数値的不変量を計算する課題に対処すること。
• 非凸制約や複雑な制御フローにおける高次なブール論理的複雑性に苦しむ既存の手法（例：定量的除去や整数線形計画法）の限界を克服すること。
• ワイドニングやナーリングに依存せずに、パラメトリック整数方程式系の最小解を計算する手法を開発すること。
• パラメトリック整数方程式を解くことにより、パラメトリック区間解析および整数変数間の差分解析を可能にすること。
• 複雑な制御フローを伴うが関連パラメータが少ないプログラムに対して、定量的除去法のスケーラブルな代替手段を提供すること。

提案手法

• 最大戦略を同時にすべてのパラメータ設定で追跡することで、通常の戦略反復をすべてのパラメータ設定に同時に拡張する。
• 中間のパラメトリック値をリージョンツリーで表現する——パラメータ空間を線形不等式によって定義されるリージョンに分割し、各リージョンに値を割り当てるデータ構造。
• リージョンツリーのノードにおける制約に全順序を導入することで、決定論的かつ効率的な操作を保証する。
• 反復中の戦略改善を誘導するために、パラメータ化された不等式に対する整数充足可能性チェックを用いる。
• パラメータ数が固定されている場合、リージョンツリー上の基本操作（例：ツリー比較、マージ、評価）を多項式時間で実装する。
• アルゴリズムを用いてパラメトリック区間方程式および整数変数の差分を解き、包括的なパラメトリックプログラム解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実行時または設定パラメータに依存するプログラム不変量の依存関係を捉えるパラメトリック整数方程式系の最小解をどのように計算できるか？
• RQ2 非凸な設定において定量的除去の高コストを回避しつつ、戦略反復を効率的にパラメトリックシステムに適応できるか？
• RQ3 パラメータ空間上の区分的アフィン関数を効率的に表現・操作でき、かつ多項式時間操作をサポートするデータ構造は何か？
• RQ4 複雑な制御フローを伴うがパラメータが少ないプログラムにおいて、パラメトリック戦略反復の性能は定量的除去に基づく手法と比べてどの程度優れるか？
• RQ5 ワイドニングやナーリングに依存せずに、プログラム動作のモード変化（例：パラメータに依存する異なる依存関係）をどの程度正確に捉えることができるか？

主な発見

• パラメトリック戦略反復は、整数変数の正確なパラメトリック不変量を可能にする、パラメトリック整数方程式系の正確な最小解を計算する。
• リージョンツリーの使用により、パラメトリック値の効率的表現が可能となり、パラメータ数が固定されている場合に多項式時間の操作が可能となる。
• アルゴリズムはワイドニングやナーリングを回避し、過剰近似を伴わずに最良の不変量を直接計算する。
• 実験の結果、非凸な設定や複雑な制御フローを持つプログラムにおいて、Mjollnirのような定量的除去ベースのツールよりもスケーリングが優れていることが示された。
• 問題のサイズが増加しても、必要な戦略数やリージョンツリーのフラグメンテーションはやや増加にとどまり、実用的な実行時間の維持に寄与した。
• 本手法により、パラメトリック区間解析および整数変数間の差分解析が可能となり、包括的な数値的プログラム解析が実現された。