[論文レビュー] Parametrically prox-regular functions

Planiden, Chayne|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、パrametrically prox-regular（para-prox-regular）関数を導入し、パrameterを含む最適化問題における最小値の安定性の分析を可能にする、prox-regular関数の拡張を提示する。f-attention ε-局所化の単調性によるpara-prox-regularityの特徴付けがなされ、proximal averageのような主要な例が一般化され、強アメニタブル関数のための条件が緩和され、パrametric最適化の安定性に関する理解が進展する。

ABSTRACT

Prox-regularity is a generalization of convexity that includes all lower-C² functions. Therefore, the study of prox-regular functions provides insight on a broad spectrum of important functions. Parametrically prox-regular (para-prox-regular) functions are a further extension of this family, produced by adding a parameter. Such functions have been shown to play a key role in understanding the stability of minimizers in optimization problems. This thesis discusses para-prox-regular functions in ℝn. We begin with some basic examples of para-prox-regular functions, and move on to the more complex examples of the convex and non-convex proximal averages. We develop an alternate representation of para-prox-regular functions, related to the monotonicity of an f-attentive ε-localization as was done for prox-regular functions [25]. Levy in [18] provided proof of one implication of this relationship; we provide a characterization. We analyze two common forms of parametrized functions that appear in optimization: finite parametrized sum of functions, and finite parametrized max of functions. The example of strongly amenable functions by Poliquin and Rockafellar [27] is given, and a relaxation of its necessary conditions is presented. Some open questions and directions of further research are stated.

研究の動機と目的

• パラメータを含む最適化問題の解析を可能にするために、prox-regular関数の理論をパラメータ化に拡張すること。
• f-attention ε-局所化の単調性を通じたpara-prox-regular関数の特徴付けを行い、先行研究を一般化すること。
• 最適化における代表的なパラメトリック構造（関数の有限和および最大値）の分析。
• 強アメニタブル関数のための必要条件を緩和し、パラメトリック最適化における適用範囲を広げること。
• 未解決問題を特定し、パラメトリック変分解析分野における今後の研究の方向性を示唆すること。

提案手法

• f-attention ε-局所化の単調性に基づくpara-prox-regular関数の別表現を構築し、[25]の技術を拡張する。
• para-prox-regularityの完全な特徴付けを提供し、Levy [18]の部分的結果を補完する。
• パラメータ付きの有限和および関数の最大値を、パラメトリック最適化における代表的形として分析する。
• 凸および非凸のproximal averageを、para-prox-regular関数の主要な例として検討する。
• PoliquinとRockafellar [27]が提示した強アメニタブル性の必要条件を緩和し、より広範な応用を可能にする。
• 変分解析およびproximal解析のツールを用いて、パrameterの変化に伴う最小値の安定性を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 prox-regularityはどのようにパラメータを含む関数に一般化され、その一般化を特徴付ける性質は何か？
• RQ2 para-prox-regularityとf-attention ε-局所化の単調性の正確な関係は何か？
• RQ3 関数の有限和および最大値といった代表的なパラメトリック形式は、どのようにpara-prox-regular性を示すか？
• RQ4 最適化における安定性を保ちつつ、強アメニタブル性のための条件をどの程度緩和できるか？
• RQ5 パラメトリックにprox-regular関数の理論において未解決の問題は何か？

主な発見

• f-attention ε-局所化の単調性に基づくpara-prox-regular関数の完全な特徴付けが確立され、先行の部分的結果が拡張された。
• 適切な条件下で、パラメータ付きの有限和および関数の最大値がpara-prox-regularであることが示された。
• 凸および非凸のproximal averageが、para-prox-regular関数の主要な例として同定された。
• 強アメニタブル性のための必要条件が緩和され、安定性解析に適した関数のクラスが拡大された。
• 本フレームワークにより、パラメトリック最適化問題における最小値の安定性分析の基盤が提供された。
• いくつかの未解決の問題および研究の方向性が特定され、特にpara-prox-regularityのより広範な関数クラスへの拡張に関する点が特に強調された。