[論文レビュー] Parametricity in an Impredicative Sort

Chantal Keller, Marc Lasson|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2012

Logic, programming, and type systems参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、計算的内容と命題的内容を分離するため、新たな予言的階層（Set₀, Set₁, ...）を導入することで、微調整された帰納的計算論理（CIC）のバージョン、CIC_rを提案する。これにより、パラメトリシティ関係を非予言的ソートPropに置くことが可能になる。主な貢献は、この枠組み内での関係的パラメトリシティと抽象化定理の形式的定式化であり、パラメトリシティによる証明を自動生成する反射的Coqタクティクの実装を可能にし、すべての出力がCoqのカーネルによって型検査されることで整合性が保証される。

ABSTRACT

Reynold's abstraction theorem is now a well-established result for a large class of type systems. We propose here a definition of relational parametricity and a proof of the abstraction theorem in the Calculus of Inductive Constructions (CIC), the underlying formal language of Coq, in which parametricity relations' codomain is the impredicative sort of propositions. To proceed, we need to refine this calculus by splitting the sort hierarchy to separate informative terms from non-informative terms. This refinement is very close to CIC, but with the property that typing judgments can distinguish informative terms. Among many applications, this natural encoding of parametricity inside CIC serves both theoretical purposes (proving the independence of propositions with respect to the logical system) as well as practical aspirations (proving properties of finite algebraic structures). We finally discuss how we can simply build, on top of our calculus, a new reflexive Coq tactic that constructs proof terms by parametricity.

研究の動機と目的

• パラメトリシティ関係が非予言的ソートPropに存在する型理論において、関係的パラメトリシティと抽象化定理を形式化すること。
• Coqの型システムにおいて、計算的に意味のある項と情報のない項を分離するために、ソート階層を微調整し、SetとTypeをPropから分離すること。
• 計算的反映を活用して、深さ埋め込みと再帰化を用いて、パラメトリシティに基づく証明項を構築する反射的タクティクを構築することで、Coqにおける実用的自動化を可能にすること。
• パラメトリシティの自然なエンコーディングを通じて、有限代数的構造に関する形式的推論と、論理的体系からの命題の独立性を支援すること。
• パラメトリシティと句単位の実現可能性理論を結びつけることで、Coq内に内部実現可能性理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 計算的内容を分離するために、新たな予言的ソート階層（Set₀, Set₁, ...）を導入することで、CICを微調整し、パラメトリシティ関係に非予言的ソートPropを維持する。
• 型上の帰納的論理的関係を用いて関係的パラメトリシティを定義し、関係をPropに値づけ、証明無差別性を保証し、論理的推論に適したものとする。
• CIC_r内で抽象化定理を証明し、任意の閉じた項がその型によって誘導される関係において自分自身と関係することを示す。型の構造的帰納法を用いる。
• 浅い埋め込みから深い埋め込み（OCamlのAST経由）への項の再帰化を行い、パラメトリシティ証明を計算し、Coqに戻して型検査する反射的Coqタクティクを実装する。
• 計算的反映を用いて、タクティクが項構造を検査し、自動的に証明項を生成できるようにし、整合性を保証するためにCoqのカーネルに依存する。
• CIC_rを標準CICに忘れられる翻訳によって埋め込み、既存のCoqコードへの影響を最小限に抑えつつ、互換性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非予言的ソートProp内で、CICの微調整されたバージョンに自然かつ整合的にパラメトリシティ関係をエンコードできるか？
• RQ2 既存の機能を損なわずに、Coqの型システム内で計算的項と非計算的項を明確に分離できるか？
• RQ3 計算的反映を用いて、パラメトリシティに基づく証明を自動生成する反射的Coqタクティクを構築できるか？
• RQ4 特に証明無差別性と集合論的解釈の観点から、大規模な帰納的型にパラメトリシティを適用する際の制限は何か？
• RQ5 微調整された型システムを用いて、パラメトリシティに基づくCoq内での実現可能性理論を構築できるか？

主な発見

• CICをCIC_rに微調整することで、計算的内容がSet階層に明確に分離され、プログラム抽出においてはSet型の項のみが生存することが保証された。
• パラメトリシティ関係は、非予言的ソートProp内で自然に定義され、使用可能となり、論理的推論や証明構築に活用できるようになった。
• 抽象化定理はCIC_rで形式的に確立され、任意の閉じた項がその型によって誘導される関係において自分自身と関係することを保証する。
• 再帰化された項、パラメトリシティ証明の計算、およびCoqへの再帰的反映を可能にする反射的Coqタクティクが実装され、すべての出力がCoqのカーネルによって検査された。
• このアプローチは、有限代数的構造の性質の証明や、論理的体系からの命題の独立性の確立といった実用的応用を支援する。
• 著者らは、大規模な帰納的型に対するパラメトリシティ関係が証明無差別でない可能性があると予想しており、それらを集合論的関係として解釈する際に根本的な制限があることを示唆している。