[論文レビュー] Parametrization of Extremal Trajectories in Sub-Riemannian Problem on Group of Motions of Pseudo Euclidean Plane

Yasir Awais Butt, Yuri L. Sachkov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、双曲平面内の運動をモデル化する特殊双曲的群 SH(2) における非リーマン的測地線を研究する。ポントレヤーギン最大原理を適用することで、通常および異常な場合の極値軌道を導出し、座標変換を経て、ヤコビ楕円関数を用いて系を統合し、すべての極値曲線の完全なパラメータ表示を提供する。

ABSTRACT

We consider the sub-Riemannian length minimization problem on the group of motions of hyperbolic plane i.e. the special hyperbolic group SH(2). The system com- prises of left invariant vector fields with 2 dimensional linear control input and energy cost functional. We prove the global controllability of control distribution and use Pon- tryagin Maximum Principle to obtain the extremal control input and sub-Riemannian geodesics. The abnormal and normal extremal trajectories of the system are analyzed qualitatively and investigated for strict abnormality. A change of coordinates trans- forms the vertical subssystem of the normal Hamiltonian system into mathematical pendulum. In suitable elliptic coordinates the vertical and horizontal subsystems are integrated such that the resulting extremal trajectories are parametrized by Jacobi elliptic functions.

研究の動機と目的

• 特殊双曲的群 SH(2) 上の左不変非リーマン的システムのグローバル可制御性を確立すること。
• 通常および異常な場合の両方に対して、ポントレヤーギン最大原理を用いて極値軌道を導出すること。
• 特に厳密な異常性に注目して、極値軌道の定性的構造を調査すること。
• 通常ハミルトニアンの垂直部分系を物理的pendulum方程式に変換すること。
• 楕円座標を用いて垂直および水平部分系を統合し、極値軌道のパラメータ表示を可能にすること。

提案手法

• SH(2) 上の非リーマン的長さ最小化問題に対して、ポントレヤーギン最大原理を適用し、必要条件を導出する。
• 通常極値に対応するハミルトニアン系を解析し、垂直部分系を物理的pendulum方程式に変換する。
• 動的系を単純化する座標変換を導入し、ハミルトニアン系における変数分離を可能にする。
• 楕円座標を用いて、通常ハミルトニアン系の垂直および水平部分系を統合する。
• 得られた極値軌道をヤコビ楕円関数の形で表現し、完全なパラメータ表示を提供する。
• 通常および異常極値軌道を区別し、厳密な異常性の条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊双曲的群 SH(2) 上の非リーマン的測地線に対する必要条件は何か？
• RQ2 通常ハミルトニアンの垂直部分系はどのように物理的pendulum方程式に変換できるか？
• RQ3 極値軌道が厳密に異常となる条件は何か？
• RQ4 垂直および水平部分系を完全に統合できる座標系は何か？
• RQ5 得られた極値軌道はどのような特殊関数を用いてパラメータ表示されるか？

主な発見

• SH(2) 上の非リーマン的システムはグローバル可制御であり、任意の二点間で最小化曲線が存在することが保証される。
• 系を楕円座標に変換した後、ヤコビ楕円関数を用いて極値軌道が完全にパラメータ表示される。
• 通常ハミルトニアンの垂直部分系は物理的pendulumに等価であり、解析的統合が可能である。
• 楕円座標において水平および垂直の運動が分離され、系の完全統合が可能になる。
• 異常極値は厳密な異常性について分析され、測地線流れの構造的性質が明らかになる。
• 極値軌道のパラメータ表示により、SH(2) 上の長さ最小化問題に対する完全な解が得られる。