[論文レビュー] Parametrization, structure and Bruhat order of certain spherical quotients

Pierre–Emmanuel Chaput, Lucas Fresse+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、再帰的群 $G$ と高さ 2 の冪零元 $e$ に対して、旗多様体 $G/B$ 上の $Z_G(e)$-軌道の構造とブルハート順序を研究する。軌道のパラメトライゼーションを $W^P \times (\mathcal{B}_L / M)$ を用いて確立し、各軌道が $M$-軌道上への代数的アフィンバンドルであることを証明し、型 $A$ では軌道が自然なセル分解をもつことを示す。主な貢献は、コクセター系の商の抽象的順序を用いて、これらの軌道上の強いブルハート順序を組合せ的に記述することにある。

ABSTRACT

Let $G$ be a reductive algebraic group and let $Z$ be the stabilizer of a nilpotent element $e$ of the Lie algebra of $G$. We consider the action of $Z$ on the flag variety of $G$, and we focus on the case where this action has a finite number of orbits (i.e., $Z$ is a spherical subgroup). This holds for instance if $e$ has height $2$. In this case we give a parametrization of the $Z$-orbits and we show that each $Z$-orbit has a structure of algebraic affine bundle. In particular, in type $A$, we deduce that each orbit has a natural cell decomposition. In the aim to study the (strong) Bruhat order of the orbits, we define an abstract partial order on certain quotients associated to a Coxeter system. In type $A$, we show that the Bruhat order of the $Z$-orbits can be described in this way.

研究の動機と目的

• 再帰的群 $G$ と冪零元 $e$ に対して、$Z_G(e)$ が球面的であるとき、旗多様体 $G/B$ 上の $Z_G(e)$-軌道のパラメトライゼーションと幾何的構造を理解すること。
• 特に、（強い）ブルハート順序の観点から、軌道の閉包の包含関係を記述すること。
• コクセター系の商の抽象的順序を用いて、$Z_G(e)$-軌道上のブルハート順序の組合せ的モデルを確立すること。
• 型 $A$ において、各 $Z_G(e)$-軌道が自然なセル分解をもつことの証明。
• $Z_G(e)$-軌道と $N_G(e)$-軌道の関係を明確にし、球面的条件の下で両者が一致することを示すこと。

提案手法

• Weyl群の部分群 $W_P$ に関するパラボリック商 $W^P$ と、リー部分群 $L$ の旗多様体 $\mathcal{B}_L$ の球面的部分群 $M$ による商 $\mathcal{B}_L / M$ の積 $W^P \times (\mathcal{B}_L / M)$ を用いて、$Z_G(e)$-軌道をパラメトライズする。
• $Z_G(e) = L_Z \ltimes U_Z$ というリー分解を用いて、各 $Z_G(e)$-軌道が $\mathcal{B}_L$ 内の $M$-軌道上への代数的アフィンバンドルであることを証明する。
• コクセター系の商の特定のクラスに抽象的部分順序を定義し、$Z_G(e)$-軌道上の強いブルハート順序をモデル化する。
• 表紙基準とインボリューション誘導順序の性質を用いて、Weyl群の元を比較し、それらを軌道の包含関係に関連付ける。
• [BR12] で得られた $\mathcal{D}_n$ の被覆関係の結果を活用し、置換に関連する有向グラフの図式スイッチを用いてブルハート順序を特徴付ける。
• 高さ 2 の冪零元に対して $U_Z = U$ であることを示し、$L$ の対称部分群からのパラボリック誘導によって $Z_G(e)$ の構造が単純化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $Z_G(e)$ が球面的であるとき、旗多様体上の $Z_G(e)$-軌道はどのようにパラメトライズ可能か？
• RQ2 各 $Z_G(e)$-軌道の幾何的構造は、特にファイブレーションやセル分解の観点からどうなっているか？
• RQ3 $Z_G(e)$-軌道上の強いブルハート順序は、どのように組合せ的に記述できるか？
• RQ4 $Z_G(e)$-軌道と $N_G(e)$-軌道が一致する条件は何か？
• RQ5 コクセター系の商の抽象的順序を用いて、$Z_G(e)$-軌道上のブルハート順序をモデル化できるか？

主な発見

• $Z_G(e)$-軌道は、$W^P$（$W/W_P$ の最小長代表元の集合）と $\mathcal{B}_L / M$（$L$ の旗多様体をその球面的部分群 $M$ で割ったもの）の積 $W^P \times (\mathcal{B}_L / M)$ でパラメトライズされる。
• 各 $Z_G(e)$-軌道は、$\mathcal{B}_L$ 内の $M$-軌道上への代数的アフィンバンドル構造をもつ。これは、アフィン空間をファイバーとするファイブレーションを意味する。
• 型 $A$ において、各 $Z_G(e)$-軌道は、アフィンバンドル構造と $\mathcal{B}_L / M$ の幾何的性質から生じる自然なセル分解をもつ。
• $Z_G(e)$-軌道上の強いブルハート順序は、コクセター系の商の抽象的部分順序によって記述され、Weyl群上のブルハート順序を一般化する。
• 冪零元が高さ 2 であるとき、非可換部分群 $U_Z$ は、パラボリック部分群 $P$ の完全な非可換部分群 $U$ と一致する。したがって $Z_G(e) = L_Z \ltimes U$ であり、$L_Z$ は $L$ の対称部分群である。
• $Z_G(e)$ が球面的であるとき、$Z_G(e)$-軌道と $N_G(e)$-軌道の集合は一致するが、$Z_G(e)$ が球面的でない場合でも $N_G(e)$ が球面的であることはあり得る。