[論文レビュー] Parametrized higher category theory and higher algebra: Exposé I -- Elements of parametrized higher category theory

Clark Barwick, E. Dotto+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、$T$-∞-カテゴリを基底∞-カテゴリ$T$上のcocartesian fibrationとしてモデル化することにより、パラメータ付きの高次圏論を導入する。これにより、相対的な関手や構成（例えば双対、関手圏）を可能にする。主な貢献は、$T$-対象の普遍的特徴付け、$T$-∞-カテゴリにおける内部Hom、およびストレートニングを用いないパラメータ付きヤオネダ補題の確立である。

ABSTRACT

We introduce the basic elements of the theory of parametrized $\infty$-categories and functors between them. These notions are defined as suitable fibrations of $\infty$-categories and functors between them. We give as many examples as we are able at this stage. Simple operations, such as the formation of opposites and the formation of functor $\infty$-categories, become slightly more involved in the parametrized setting, but we explain precisely how to perform these constructions. All of these constructions can be performed explicitly, without resorting to such acts of desperation as straightening. The key results of this Exposé are: (1) a universal characterization of the $T$-$\infty$-category of $T$-objects in any $\infty$-category, (2) the existence of an internal Hom for $T$-$\infty$-categories, and (3) a parametrized Yoneda lemma.

研究の動機と目的

• 基底∞-カテゴリ$T$上のファイバー化されたカテゴリとしてのパラメータ付き高次圏論の基礎的枠組みを構築すること。
• 双対、部分カテゴリ、関手圏といった古典的構成をパラメータ付き設定に一般化すること。
• ストレートニングに依存しない、パラメータ付き文脈における主要な圏論的演算の明示的で抽象的でない構成を提供すること。
• $T$-対象および$T$-∞-カテゴリにおける内部Homの普遍的性質を確立すること。
• 古典的ヤオネダ埋め込みを相対的設定に拡張するパラメータ付きヤオネダ補題を証明すること。

提案手法

• 固定された基底∞-カテゴリ$T$に対して、$T$-∞-カテゴリを$T$上のcocartesian fibration $p: Γ \to T$としてモデル化する。
• ファイブレーション$C \to \cdots$のセクションとして、∞-カテゴリ$C$内の$T$-対象を定義し、普遍的性質を用いて特徴付ける。
• ファイバーごとの写像空間を用いて、外部テンソル積の右随伴を用いて、$T$-∞-カテゴリの内部Homを構成する。
• 双対性構成を反転ファイブレーションに適用することで、パラメータ付き双対を定義し、cocartesian上りの整合性を保証する。
• 強力なプッシュフォワードを用いて、$T$-∞-カテゴリのベースチェンジおよび引き戻しを構成し、ファイブレーション構造を保存する。
• マーク付き単体的集合とcocartesianエッジを用いて、$T$-∞-カテゴリからそのプレシアーブの$T$-∞-カテゴリへの完全忠実関手としてのパラメータ付きヤオネダ埋め込みを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、∞-カテゴリと群作用の両方を一般化しつつ、圏論的構造を保つような$T$-∞-カテゴリを定義できるか？
• RQ2 高次圏における内部Homの正しいパラメータ付き類似物は何であり、どのように明示的に構成できるか？
• RQ3 ヤオネダ補題はどのようにパラメータ付き設定に拡張され、どのような普遍的性質を満たすか？
• RQ4 ストレートニングを用いないで、双対や関手圏といった基本的構成をパラメータ付き設定で行えるか？
• RQ5 ∞-カテゴリ内の$T$-対象の普遍的特徴付けとは何か？そしてファイブレーション構造とはどのように関係するか？

主な発見

• $T$-∞-カテゴリ$C$内の$T$-対象の$T$-∞-カテゴリは、定数ファイブレーション関手の右随伴を用いた普遍的特徴付けを持つ。
• $T$-∞-カテゴリには内部Hom関手が存在し、$T$上の空間の∞-圏値に拡張された圏としての性質を持つ。これはファイバーごとの写像空間による明示的構成によって実現される。
• パラメータ付きヤオネダ補題が成立する：プレシアーブの$T$-∞-カテゴリへのヤオネダ埋め込みは完全忠実であり、ファイブレーションのセクションに関連する普遍的性質を満たす。
• パラメータ付き設定における双対の構成は明確に定義されており、cocartesian上りと整合的であり、古典的ケースを一般化する。
• 関手$T$-∞-カテゴリは、強力なプッシュフォワードおよびベースチェンジ技術を用いて、$T$上のファイブレーションとして明示的に構成される。
• $T$-∞-カテゴリに対応するファイブレーション$Y \to T$は、双対的なカルテジアンファイブレーション${}_{\vee}Y \to T^{\mathrm{op}}$を持つ。これにより、パラメータ付き設定における双対性構成が可能になる。