[論文レビュー] ParaSasakian manifolds with a constant paraholomorphic section curvature

Simeon Zamkovoy|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、接続と曲率の解析を用いて、曲率テンソルの分析とジャンルス空間の同型を介した接続・曲率の解析的接続を用いて、定曲率をもつパラササキアン多様体を分類する。任意の(2n+1)次元で、連結かつ単連結なパラササキアン多様体は、曲率k=3のときハイパボリック・ヘイゼンベルク群に局所等長的であるか、k≠3のときパラケーラー空間内のヒペルボロイドに局所等長的である。

ABSTRACT

In this paper paraSasakian manifolds with a constant paraholomorphic section curvature are considered.

研究の動機と目的

• 定パラホロモルフィック断面曲率をもつパラササキアン多様体を分類すること。
• 接続と曲率の解析を用いて、そのような多様体の局所的構造を特定すること。
• 定曲率kをもつ多様体が、k=3のときハイパボリック・ヘイゼンベルク群（H^{2n+1}）に、k≠3のときパラケーラー空間内のヒペルボロイド（H^{2n+1}_{n+1}(1)）に局所等長的であることを確立すること。
• 曲率テンソルおよびその共変微分が、接続の解析的接続を介して局所幾何を一意に決定することを証明すること。

提案手法

• パラササキアン多様体における曲率対称性を分析するため、PC-ボンネル曲率テンソルとその分解を用いる。
• 計量g、構造テンソルφ、1次形式ηを用いて、リーマン曲率テンソルの曲率式(6.58)を適用する。
• 正規直交フレームとφ-適合性を用いて、多様体Mとモデル空間H(k)の接空間間の線形同型Fを構成する。
• 接続と曲率テンソルの解析性を用い、ジャンルス空間の同値性により、局所同型Fをグローバル同型fに拡張する。
• fがξ、φ、ηを保存することを検証し、したがってfはパラササキアン同型であることを示す。
• 文献[8]の定理7.2を適用し、同型fが存在し、fξ = ξ*を満たすことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定パラホロモルフィック断面曲率をもつパラササキアン多様体が、どのような条件下でモデル空間に局所等長的であるか。
• RQ2 パラホロモルフィック断面曲率kが3のとき、パラササキアン多様体の局所的幾何的構造は何か。
• RQ3 k≠3のときの局所的幾何的構造は何か。また、k=3の場合とはどのように異なるか。
• RQ4 曲率テンソルおよびその共変微分が、このような多様体の局所幾何を一意に決定できるか。
• RQ5 すべての単連結なパラササキアン多様体が、定パラホロモルフィック曲率をもつ場合、それらが局所等長的である標準的なモデル空間は存在するか。

主な発見

• k=3のとき、曲率テンソルは恒等的に0であり、多様体はハイパボリック・ヘイゼンベルク群H^{2n+1}に局所等長的である。
• k≠3のとき、多様体はパラケーラー空間R^{2n+2}内に埋め込まれたヒペルボロイドH^{2n+1}_{n+1}(1)に局所等長的である。
• 曲率テンソルRは、g、φ、η、および曲率kに依存する特定の代数的形(6.58)をとる。
• PC-ボンネル曲率テンソルBがW^{pc}テンソルと一致することが示され、曲率の剛性が裏付けられる。
• 接続∇と曲率Rは解析的であるため、ジャンルス空間理論を用いて局所同型をグローバル同型に拡張できる。
• 同型fはξ、φ、η、gを保存するため、fはパラササキアン同型であり、局所的剛性が証明される。