[論文レビュー] Parasupersymmetry and N-fold Supersymmetry in Quantum Many-Body Systems I. General Formalism and Second Order

Toshiaki Tanaka|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2006

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 78被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子多体系におけるパラフェルミオン代数およびパラスーパー対称性の表現に依存しない定式化を提案する。任意の $ p $ 階のパラスーパー対称系が $ \\mathcal{N} \leq p $ を満たす $ \\mathcal{N} $ 重スーパー対称ペアを含むことを示し、弱い準可解性および等スペクトル性を示唆する。また、より制限の少ない代替として準パラスーパー対称性を導入し、明示的な2次例を通じて一般化された $ 2 $ 重スーパー代数と等スペクトルハミルトニアンを示している。

ABSTRACT

We propose an elegant formulation of parafermionic algebra and parasupersymmetry of arbitrary order in quantum many-body systems without recourse to any specific matrix representation of parafermionic operators and any kind of deformed algebra. Within our formulation, we show generically that every parasupersymmetric quantum system of order p consists of N-fold supersymmetric pairs with N

研究の動機と目的

• 量子多体系におけるパラフェルミオン代数およびパラスーパー対称性の一般的で表現に依存しない定式化を構築すること。
• パラスーパー対称性と $ \mathcal{N} $ 重スーパー対称性との構造的関係を明確にし、前者が $ \mathcal{N} \leq p $ を満たす後者を含意することを示すこと。
• パラスーパー対称性よりも制限が少ないが $ \mathcal{N} $ 重スーパー対称性とは異なる、新たな対称性である準パラスーパー対称性を導入し、その解析を行うこと。
• 1体および2体系を含む明示的な2次パラスーパー対称モデルを構築し、その等スペクトル性および弱い準可解性を示すこと。

提案手法

• 基本公理に基づきパラフェルミオン代数を定式化：冪等性 $ (\psi^{-})^{p+1} = 0 $、$ (\psi^{+})^{p+1} = 0 $、および $ p $ 乗までのすべての項を含む一般化された反交換関係。
• 成分パラスーパークーライズ $ Q_k^\pm $ およびハミルトニアン $ H_k $ を定義し、それらの間の閉じた形の交換関係および非線形関係を導出する。
• 行列表現や変形された代数を用いずに、成分ハミルトニアン $ H_k $ とスーパークーライズ $ Q_k^\pm $ のみを用いてパラスーパー対称条件を完全に表現する。
• スーパークーライズ積に緩い条件を課えることで準パラスーパー対称性を導入し、非自明な高次微分作用素を許容する。
• 3つの明示的な2次モデルを構築：1体系のルバコフ＝スピリドノフ系に等価なモデルと、折りたたみスーパー対称性を持つ2つの2体系。
• ハミルトニアンの代数的構造とスペクトル的性質を分析することで、等スペクトル性および弱い準可解性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列表現や変形オシレーター代数に依存せずに、パラフェルミオン代数およびパラスーパー対称性をどのように定式化できるか？
• RQ2 $ p $ 階のパラスーパー対称性と $ \mathcal{N} \leq p $ を満たす $ \mathcal{N} $ 重スーパー対称性との正確な関係は何か？
• RQ3 パラスーパー対称性よりも制限が少ない対称性を定義できるか？また、1体系において、それは $ \mathcal{N} $ 重スーパー対称性とはどのように異なるか？
• RQ4 明示的な2次パラスーパー対称モデルは等スペクトル性および弱い準可解性を示すか？また、一般化された $ 2 $ 重スーパー代数を実現できるか？
• RQ5 この形式的枠組みは、位置に依存する質量系や複数のパラフェルミオン変数へどのように拡張可能か？

主な発見

• 任意の $ p $ 階のパラスーパー対称量子系は $ \mathcal{N} \leq p $ を満たす $ \mathcal{N} $ 重スーパー対称ペアを含み、等スペクトル性と弱い準可解性を保証する。
• パラスーパー対称条件は、表現に依存せず、成分ハミルトニアン $ H_k $ とスーパークーライズ $ Q_k^\pm $ のみを用いて閉じた形で表現可能である。
• 2次パラスーパー対称系の最初の例は、本質的に1体系のルバコフ＝スピリドノフモデルに等価であり、一般化された $ 2 $ 重スーパー代数を実現する。
• 2体系のモデルは2つの折りたたみスーパー対称性を示し、それらのハミルトニアンは下位の $ \mathcal{N} $ 重構造のおかげで等スペクトルである。
• 準パラスーパー対称性は、独立で制限の少ない対称性として導入された。2次系ではパラスーパー対称性と等価であるが、1体系では $ \mathcal{N} $ 重スーパー対称性とは異なる。
• von Roos型ハミルトニアンを用いることで、形式的枠組みは位置に依存する質量系へ拡張可能であり、質量関数と微分を含む成分スーパークーライズの明示的構成が可能である。