[論文レビュー] Pareto optimal and popular house allocation with lower and upper quotas

Ágnes Cseh, Tobias Friedrich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2021

Game Theory and Voting Systems被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、下限および上限のプロジェクト定員を伴う住宅割り当て問題におけるパレート最適およびパピュラーなマッチングを研究する。最大下限定員が2である場合でさえ、パピュラーなマッチングを見つけることはNP困難であることが示され、一方で、最大下限定員が2であるとき、パレート最適性およびパピュラーさの検証は多項式時間で可能になる。本稿は、分野における2つの未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In the house allocation problem with lower and upper quotas, we are given a set of applicants and a set of projects. Each applicant has a strictly ordered preference list over the projects, while the projects are equipped with a lower and an upper quota. A feasible matching assigns the applicants to the projects in such a way that a project is either matched to no applicant or to a number of applicants between its lower and upper quota. In this model we study two classic optimality concepts: Pareto optimality and popularity. We show that finding a popular matching is hard even if the maximum lower quota is 2 and that finding a perfect Pareto optimal matching, verifying Pareto optimality, and verifying popularity are all NP-complete even if the maximum lower quota is 3. We complement the last three negative results by showing that the problems become polynomial-time solvable when the maximum lower quota is 2, thereby answering two open questions of Cechl\'arov\'a and Fleiner. Finally, we also study the parameterized complexity of all four mentioned problems.

研究の動機と目的

• 下限および上限のプロジェクト定員を伴う住宅割り当てにおけるパレート最適およびパピュラーなマッチングを求める問題の計算複雑性を分析すること。
• 有界な下限定員下でのパピュラーおよびパレート最適マッチングの tractability に関する未解決問題を解明すること。
• 特に最大下限定員に関して、これらの問題のパrameterized 複雑性を研究すること。
• 高い下限定員に対してNP完全性を示し、下限定員が ≤ 2 である場合に多項式時間で解けることを証明することで、タイトな複雑性境界を確立すること。

提案手法

• 最大下限定員が2であるパピュラーなマッチングのNP困難性を示すために、多色クライQUE問題への還元を行う。
• 特殊なプロジェクト（色、頂点、辺、ダミー）を備えた一対多マッチングインスタンスを構築し、厳密な順序付き希望リストを持つ申請者を設定する。
• ダミーの申請者およびダミーのプロジェクトを用いて構造的制約を強制する：すべての頂点および色プロジェクトが開かれ、すべての申請者がマッチングされることを保証する。
• 観察2を活用し、ダミーの申請者が任意のパピュラーなマッチングにおいて特定の構造的性質を強制することを示す。
• ある申請者の割り当てが改善されても、他の申請者の割り当てがそれを相殺するように希望リストを設計し、パピュラーさを維持する。
• 最大下限定員が2である場合、パレート最適性の検証、パピュラーさの検証、および完全なパレート最適マッチングの探索が多項式時間で可能になることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大下限定員が2である場合、パピュラーなマッチングを見つけることはNP困難か？
• RQ2 最大下限定員が2である場合、パレート最適性の検証は多項式時間で行えるか？
• RQ3 最大下限定員が2である場合、完全なパレート最適マッチングの探索は tractable か？
• RQ4 最大下限定員をパrameterとして見た場合、パピュラーおよびパレート最適マッチング問題のパrameterized 複雑性はいかほどか？
• RQ5 すべての頂点および色プロジェクトが任意のパピュラーなマッチングで開かれるように強制する構造的制約は存在するか？

主な発見

• 最大下限定員が2である場合でさえ、パピュラーなマッチングを見つけることはNP困難である。
• 最大下限定員が3である場合、パレート最適性の検証はNP完全である。
• 最大下限定員が3である場合、パピュラーさの検証はNP完全である。
• 最大下限定員が3である場合、完全なパレート最適マッチングの探索はNP完全である。
• 最大下限定員が2である場合、パレート最適性の検証、パピュラーさの検証、および完全なパレート最適マッチングの探索の3つの問題すべてが多項式時間で可能になる。
• 本稿は、Cechl´arov´aとFleiner（2017）が提起した2つの未解決問題を解決し、下限定員が2である制約下でこれらの問題が多項式時間で解けることを示した。