[論文レビュー] Parikh Automata over Infinite Words

Shibashis Guha, Ismaël Jecker+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Formal Methods in Verification被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、無限語における到達性、安全、B"uchi、co-B"uchi 受理条項を備えたパーキュ・オートマトンを導入し、大多数のクラスが表現力において比較不能であることを確立するとともに、到達性およびB"uchi 型における空集合の決定可能性を証明している。一方、モデルチェックイングは、決定的かつ安全、co-B"uchi パーキュ・オートマトンに限って決定可能である。全般に、普遍性、安全／co-B"uchi 場合の非空性、およびすべてのタイプにわたるゲームの解法に関して、決定不能性が示されている。

ABSTRACT

Parikh automata extend finite automata by counters that can be tested for membership in a semilinear set, but only at the end of a run, thereby preserving many of the desirable algorithmic properties of finite automata. Here, we study the extension of the classical framework onto infinite inputs: We introduce reachability, safety, Büchi, and co-Büchi Parikh automata on infinite words and study expressiveness, closure properties, and the complexity of verification problems. We show that almost all classes of automata have pairwise incomparable expressiveness, both in the deterministic and the nondeterministic case; a result that sharply contrasts with the well-known hierarchy in the $ω$-regular setting. Furthermore, emptiness is shown decidable for Parikh automata with reachability or Büchi acceptance, but undecidable for safety and co-Büchi acceptance. Most importantly, we show decidability of model checking with specifications given by deterministic Parikh automata with safety or co-Büchi acceptance, but also undecidability for all other types of automata. Finally, solving games is undecidable for all types.

研究の動機と目的

• 無限語におけるパーキュ・オートマトンを、到達性、安全、B"uchi、co-B"uchi 受理条項を導入することで拡張すること。
• これらの新しいクラスのオートマトンの表現力および閉包性質を分析すること。
• 空集合、普遍性、モデルチェックイングといった基本的問題の決定境界を特定すること。
• この拡張されたフレームワーク内での無限語におけるゲームの解法の複雑さを調査すること。
• 古典的 $ω$-正則オートマトンと比較し、表現力の階層における顕著な相違点を強調すること。

提案手法

• 無限語におけるパーキュ・オートマトンに、到達性、安全、B"uchi、co-B"uchi の4つの受理条項を提案する。
• 受理条項の2種類のバージョンを導入する：同期的（状態とカウンタ条件が同時に満たされる）および非同期的（別々に満たされる）。
• 未決定性問題を軽減するため、減算ガード付き2カウンタ機械から決定的パーキュ・オートマトンを構築する。
• 普遍的停止性や2カウンタ機械の停止性といった未決定問題からの還元を用いて、決定不能性の結果を証明する。
• 閉包性質および拡張されたパーキュ・イメージとシンク状態を用いた構成を用いて、特定のクラスにおけるモデルチェックイングの決定可能性を示す。
• 半線形集合とカウンタ状態を用いて受理を定義し、パーキュ・オートマトンの核となるアイデアを維持しつつ、$ω$-正則設定へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限語における新しいパーキュ・オートマトンのクラスは、互いに表現力で比較可能か、それとも非比較的階層を形成するか？
• RQ2 すべての受理条項において、決定的および非決定的設定の両方で空集合の決定可能性は保証されるか？
• RQ3 仕様が決定的パーキュ・オートマトンであり、かつ安全またはco-B"uchi 受理条項を備える場合、モデルチェックイングは決定可能か？
• RQ4 この拡張されたパーキュ・オートマトン枠組み内での無限語におけるゲームの解法の複雑さはいかほどか？
• RQ5 さまざまな受理タイプにおいて、否定に関して閉包性が保たれるか、特にブール演算、特に否定に関して？

主な発見

• 無限語におけるパーキュ・オートマトンのほとんどすべてのクラスは、お互いに表現力が比較不能であり、$ω$-正則オートマトンにおけるよく知られた階層とは対照的である。
• 到達性およびB"uchi パーキュ・オートマトンでは空集合の決定可能性が成立するが、安全およびco-B"uchi 型では未決定である。
• モデルチェックイングは、決定的かつ安全、co-B"uchi パーキュ・オートマトンに限って決定可能であり、他のすべてのタイプでは未決定である。
• すべてのタイプのパーキュ・オートマトンにおけるゲームの解法は未決定である。
• 非決定的B"uchi パーキュ・オートマトンは、和集合および積集合に関しては閉包的であるが、否定に関しては閉包的でない。
• 非決定的条件下では、到達性およびB"uchi 受理条項の同期的および非同期的バージョンは線形に同等であるが、決定的条件下ではそうではない。