[論文レビュー] Parikh-Equivalent Bounded Underapproximations

Pierre Ganty, Rupak Majumdar+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2008

Formal Methods in Verification参考文献 13被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、並行ソフトウェア検証における根本的であるが決定不能な問題である、文脈自由言語の積集合の空でない性質のチェックに対して、各文脈自由言語を元の言語のパリヒ写像を保つ有界部分集合に置き換えることで、決定可能な下近似を提案する。主な理論的貢献は、任意の文脈自由言語が、同じパリヒ写像を持つ有界部分言語を有することを構成的証明することであり、これにより、マルチスレッドプログラムおよび文脈自由制約を有するカウンタオートマトンにおける到達可能性解析のための実用的下近似が可能になる。

ABSTRACT

Many problems in the verification of concurrent software systems reduce to checking the non-emptiness of the intersection of context-free languages, an undecidable problem. We propose a decidable underapproximation, and a semi-algorithm based on the under-approximation, for this problem through bounded languages. Bounded languages are context-free subsets of regular languages of the form w ∗ 1w ∗ 2... w ∗ k for some w1,..., wk ∈ Σ ∗. Bounded languages have nice structural properties, in particular the nonemptiness of the intersection of a bounded language and a context free language is decidable. Thus, in the under-approximation, we replace each of the context free languages in the intersection by bounded subsets, and check if the intersection of these languages is non-empty. In order to provide useful results in practice, the under-approximation must preserve “many ” words from the original language (the empty language is a bounded subset, but clearly useless). Our main theoretical result is a constructive proof of the following result: for any context free language L, there is a bounded language L ′ ⊆ L which has the same Parikh (commutative) image as L. Along the way, we show an iterative construction that associates with each context free language a family of linear languages and linear substitutions that preserve the Parikh image of the context free language. We show two applications of this result: to underapproximate the reachable state space of multi-threaded procedural programs, and to under-approximate the reachable state space of counter automata with context-free constraints.

研究の動機と目的

• 並行ソフトウェア検証における文脈自由言語の積集合の空でない性質のチェックの決定不能性に対処すること。
• 決定可能性を保ちながら、言語の本質的性質を維持する実用的な下近似技術を開発すること。
• 元の文脈自由言語のパリヒ写像を保つように、有界言語を構築すること。
• マルチスレッド手続き型プログラムおよび文脈自由制約を有するカウンタオートマトンにおけるスケーラブルな到達可能性解析を可能にすること。

提案手法

• 積に含まれる各文脈自由言語を、元の言語のパリヒ写像を保つ有界言語 L' ⊆ L に置き換える。
• 各文脈自由言語に対して、パリヒ写像を保つ線形言語および線形置換の族を反復的構成により関連付ける。
• 有界言語と文脈自由言語の積集合の空でない性質の決定可能性を活用し、アルゴリズム的チェックを可能にする。
• 制御フローオンリーのパスを有界なシーケンスに制限することで、マルチスレッドプログラムの到達可能な状態空間を下近似する。
• 有界言語の構成を活用し、文脈自由制約を有するカウンタオートマトンの到達可能な構成を下近似する。
• パリヒ写像を維持することで、下近似が正確になるように保証し、これにより元の言語の本質的語順性質が保持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定不能であるが、文脈自由言語の積集合の空でない性質の問題に対して、決定可能な下近似を構築することは可能か？
• RQ2 文脈自由言語の有界部分言語を、そのパリヒ写像を保つように構築することは可能か？
• RQ3 このようなパリヒ同値な有界言語を、プログラム解析に使用するための体系的な方法で生成することは可能か？
• RQ4 この下近似技術は、複雑な制御およびデータフローを有する現実世界の並行システムにどの程度スケーラブルに適用可能か？
• RQ5 この手法は、マルチスレッド手続き型プログラムおよびカウンタオートマトンの到達可能な状態空間を効果的に下近似するために適用可能か？

主な発見

• 論文は、任意の文脈自由言語 L に対して、同じパリヒ写像を持つ有界言語 L' ⊆ L が存在することを構成的証明しており、下近似における意味的整合性を保証する。
• この手法は、与えられた文脈自由言語のパリヒ写像を保つ線形言語および置換の族を体系的に生成する方法を提供する。
• 有界言語の構成により、積集合の空でない性質の決定的チェックが可能となり、アルゴリズム的検証に適している。
• このアプローチにより、パス探索を有界なシーケンスに制限することで、マルチスレッド手続き型プログラムの到達可能な状態空間の実用的下近似が可能になる。
• この技術は、複雑なデータ構造を有する形式的モデルである文脈自由制約を有するカウンタオートマトンに対しても適用可能であり、その有用性を拡張する。
• パリヒ写像を維持することで、下近似は本質的な語順性質を保持し、空言語のような単純な有界部分集合よりも精度が向上する。