[論文レビュー] Parisian ruin probability for spectrally negative Lévy processes

Ronnie Loeffen, Irmina Czarna+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Feb 20, 2011

Probability and Risk Models被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、スケーリング関数と時間 $ r $ における過程の分布を用いて、スペクトル的に負の Lévy 迁移過程におけるパリジアン破産確率のコン pact で統一的な公式を導出する。主な貢献は、変動の上限・非上限の両方のパスに対して有効な閉形式の表現を提供することであり、従来の結果を著しく簡略化し、リスク理論および数学的ファイナンスにおける破産確率の効率的計算を可能にする。

ABSTRACT

In this note we give, for a spectrally negative Levy process, a compact formula for the Parisian ruin probability, which is defined by the probability that the process exhibits an excursion below zero, with a length that exceeds a certain fixed period r. The formula involves only the scale function of the spectrally negative Levy process and the distribution of the process at time r.

研究の動機と目的

• スペクトル的に負の Lévy 迁移過程のすべてのタイプに対して、経路変動の種別に関係なく、統一的で閉形式のパリジアン破産確率の式を導出すること。
• Czarna と Palmowski (2011) が上限・非上限の両パスに対して別々に取り扱う必要があった従来の結果を簡略化・一般化すること。
• スケーリング関数と時間 $ r $ における過程の周辺分布のみに依存する、計算に適した公式を提供すること。
• ブラウン運動および指数分布のクレームを持つ複合ポアソン過程に限らない一般 Lévy 迁移過程へのパリジアン破産モデルの適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、過程が連続してゼロ未満にとどまる時間が固定遅延 $ r $ を超える最初の時刻として、パリジアン破産時刻 $ \kappa_r $ を定義する。
• 彼らは、スペクトル的に負の Lévy 迁移過程のスケーリング関数 $ W $ と $ X_r $ の分布を用いて、破産確率 $ \mathbb{P}_x(\kappa_r < \infty) $ を導出する。
• 中心的な公式は、$ \mathbb{E}[X_1] > 0 $ の条件下で有効である： \\ $ \mathbb{P}_x(\kappa_r < \infty) = 1 - \mathbb{E}[X_1] \cdot \frac{\int_0^\infty W(x+z) z \mathbb{P}(X_r \in dz)}{\int_0^\infty z \mathbb{P}(X_r \in dz)} $。
• 強マルコフ性とエクストリーム理論を活用し、遅延 $ r $ の後の最初の通過時刻に注目する。ラプラス変換とスケーリング関数の恒等式を用いて導出を行う。
• 従来のアプローチとは異なり、上限・非上限の経路の区別を避けるために、統一的な積分表現を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのスペクトル的に負の Lévy 迁移過程に対して、経路変動の種別に関係なく、単一でコン pact な公式でパリジアン破産確率を表現できるか？
• RQ2 スケーリング関数と時間 $ r $ における過程の有限次元分布のみを用いて、パリジアン破産確率をどのように表現できるか？
• RQ3 上限・非上限の経路の取り扱いを、パリジアン破産計算において統一することは可能か？
• RQ4 導出された公式は、ドリフト付きブラウン運動および指数分布クレームの複合ポアソン過程に対して、既知の結果に一致するか？

主な発見

• 正のドリフトを有する任意のスペクトル的に負の Lévy 迁移過程のパリジアン破産確率は、$ \mathbb{P}_x(\kappa_r < \infty) = 1 - \mathbb{E}[X_1] \cdot \frac{\int_0^\infty W(x+z) z \mathbb{P}(X_r \in dz)}{\int_0^\infty z \mathbb{P}(X_r \in dz)} $ で与えられ、すべての $ x \in \mathbb{R} $ に対して有効である。
• この公式は、上限・非上限の両方の経路に対して一様に成立し、Czarna と Palmowski (2011) のように別々のケース解析を必要としない。
• 指数分布クレームの古典的リスク過程に対しては、公式は不完全ガンマ関数とミタグ・レフラー関数を含む閉形式の表現を導出し、数値的に既知の結果と一致する。
• 指数 $ 3/2 $ の安定過程の場合、破産確率はミタグ・レフラー関数とホイットカーの $ W $-関数を用いて表現され、$ Z_r $ の分布はスケーリングと既知の安定密度の公式を用いて導出される。
• ブラウン運動にドリフトが加わった場合の既知の結果に正しく還元されることを検証し、特殊ケースにおいて一貫性が確認された。