[論文レビュー] Parity and Spin CFT with boundaries and defects

Ingo Runkel, Lóránt Szegedy+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リボン分類のフォビウス代数を用いた3次元トポロジカル場理論（TFT）フレームワークにおいて、スピン構造とパリティ対称性への依存性に基づき、2次元共形場理論（CFT）の4種類のタイプを導入し分類する。境界およびトポロジカル的線状欠損を含むTFTの記述を拡張し、スピンを伴わないがパリティを有する、あるいはパリティを伴わないがスピン構造を要する、2つのこれまでに十分に研究されていなかったタイプのCFTを体系的に構成する。その主な例として、ベルシャドスキー＝ポリヤコフ模型を用いる。

ABSTRACT

This paper is a follow-up to [arXiv:2001.05055] in which two-dimensional conformal field theories in the presence of spin structures are studied. In the present paper we define four types of CFTs, distinguished by whether they need a spin structure or not in order to be well-defined, and whether their fields have parity or not. The cases of spin dependence without parity, and of parity without the need of a spin structure, have not, to our knowledge, been investigated in detail so far. We analyse these theories by extending the description of CFT correlators via three-dimensional topological field theory developed in [arXiv:hep-th/0204148] to include parity and spin. In each of the four cases, the defining data are a special Frobenius algebra $F$ in a suitable ribbon fusion category, such that the Nakayama automorphism of $F$ is the identity (oriented case) or squares to the identity (spin case). We use the TFT to define correlators in terms of $F$ and we show that these satisfy the relevant factorisation and single-valuedness conditions. We allow for world sheets with boundaries and topological line defects, and we specify the categories of boundary labels and the fusion categories of line defect labels for each of the four types. The construction can be understood in terms of topological line defects as gauging a possibly non-invertible symmetry. We analyse the case of a $\mathbb{Z}_2$-symmetry in some detail and provide examples of all four types of CFT, with Bershadsky-Polyakov models illustrating the two new types.

研究の動機と目的

• スピン構造およびパリティ対称性への依存性に基づき、2次元共形場理論（CFT）を体系的に分類すること。
• 4種類のCFTのすべての記述を統一的に記述できる3次元トポロジカル場理論（TFT）フレームワークを構築すること。
• 境界およびトポロジカル的線状欠損を含むTFT記述を拡張し、それに対応する境界ラベルおよび欠損ラベルのカテゴリを明示すること。
• スピンに依存するがパリティ対称性を持たない、あるいはパリティ対称性を持つがスピン構造を必要としないCFTの体系的構成と分類を提供すること—これら2つのクラスは、これまで深く研究されていなかった。
• ベルシャドスキー＝ポリヤコフ模型においてk = −1/2のケースを用いて、構成を実証すること—これにより、2つの新しいタイプのCFTが実現される。

提案手法

• 本稿は、超ベクトル空間（SVect）を値とするリシェチキン＝トゥレイの理論に基づく3次元TFT構成を用い、CFT相関関数を定義する。
• スピン構造の必要性およびパリティ対称性の有無に基づき、4種類のCFTを区別する。
• 各タイプに対して、リボン分類における特別なフォビウス代数Fを用い、相関関数を定義する。ここで、ナカヤマ自己同型は、通常のケース（向き付け可能）では恒等写像、スピンケースではその平方が恒等写像となる。
• 境界および線状欠損を統合するために、適切な境界ラベルのカテゴリおよび欠損ラベルの結合カテゴリを指定し、TFTを用いて因子分解および一価性の整合性を保証する。
• この構成は、おそらく可逆でないトポロジカル対称性のゲージ化と解釈され、Z2対称性の詳細な解析が行われる。
• ベルシャドスキー＝ポリヤコフ代数においてk = −1/2のケースを用い、例を構成する。ここでは、偶数次元部分代数がパリティを有するがスピン構造を要しないCFTに対応し、半整数次元部分空間がスピンを有するがパリティ対称性を持たないCFTを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン構造およびパリティ対称性に基づく2次元CFTの4つの明確に区別されるクラスとは何か？それぞれの定義データはどのように異なるか？
• RQ2 スピンおよびパリティ構造を伴う状況下で、境界およびトポロジカル的線状欠損を含むCFT相関関数を一貫的に記述するための3次元TFTフレームワークは、どのように拡張可能か？
• RQ3 スピンに依存するがパリティ対称性を持たない、あるいはパリティ対称性を持つがスピンに依存しないCFTは、体系的に構成・分類可能か？
• RQ4 リボン分類におけるフォビウス代数を用いたTFT構成は、スピンおよびパリティ構造を含む場合にどのように一般化されるか？
• RQ5 トポロジカル的線状欠損は、このようなCFTにおける非可逆対称性のゲージ化をどのように実現するか？また、その反映は代数的データにどのように現れるか？

主な発見

• 本稿は、スピン構造を有するがパリティ対称性を持たないCFT、およびパリティ対称性を有するがスピン構造を要しないCFTの2つの新しいクラスを同定し、構成する—これらは、これまでに詳細に研究されていなかった。
• 4種類のCFTのすべての相関関数は、リボン分類におけるフォビウス代数を用いた3次元TFTにより一貫して定義され、ナカヤマ自己同型の条件が、通常の（恒等写像）とスピン（平方が恒等写像）のケースを区別する。
• k = −1/2におけるベルシャドスキー＝ポリヤコフ模型では、偶数次元部分代数がパリティを有するがスピン構造を要しないCFTを、半整数次元部分空間がスピンを有するがパリティ対称性を持たないCFTを実現する。
• スピンCFTにおける4つのスピン構造すべてのトーラス分配関数を計算し、モジュラー不変性およびスピン流動対称性と整合していることが示された。
• k = −1/2におけるベルシャドスキー＝ポリヤコフ模型のNSおよびRセクターの特徴関数をレベル3まで明示的に計算し、主要項が既知の結果と一致し、S行列が数値的に確認され、su(3)2と比較して裏付けられた。
• TFTによる構成により、相関関数の因子分解および一価性が保証され、付録で局所的移動（例えば、デーンねじり）に対する不変性が証明され、フレームワークの整合性が裏付けられた。