[論文レビュー] Parity Labeling in Signed Graphs

Mukti Acharya, Joseph Varghese Kureethara|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、符号付きグラフにおけるパリティラベリングを導入し、頂点ラベルの偶奇性（偶数／奇数）に基づいて辺の符号を定義するパリティ符号付きグラフを定義する。辺は両端の頂点が同じパリティを持つ場合に正、異なるパリティを持つ場合に負となる。主な貢献は、特にサイクル、パス、スターフラム、コロナを含む標準的グラフ類について、どの符号付きグラフがパリティ符号付きグラフであるかを特徴づけることであり、完全な特徴づけが得られており、負の均一サイクルがパリティ符号付きグラフであるための必要十分条件は、その次数が偶数であることである。

ABSTRACT

Let $S=(G, σ)$ be a signed graph where $G=(V, E)$ is a graph called the underlying graph of $S$ and $σ:E(G) ightarrow \{+,~-\}$. Let $f:V(G) ightarrow \{1,2,\dots,|V(G)|\}$ such that $σ(uv)=+$ if and only if $f(u)$ and $f(v)$ are of same parity and $σ(uv)=-$ if and only if $f(u)$ and $f(v)$ are of opposite parity. Under $f$ we get a signed graph $G_f$ denoted as $S$, which is a parity signed graph. In this paper, we initiate the study of parity labeling in signed graphs and we define and find `rna' number denoted as $σ^-(S)$ for some classes of signed graphs. We also characterize some signed graphs which are parity signed graphs. Some directions for further research are also suggested.

研究の動機と目的

• 符号付きグラフにおけるパリティラベリングの研究を開始すること。これは頂点のパリティに基づく新しいラベリング方式である。
• パリティ符号付きグラフにおける負の辺の数を測る指標「rna」数 σ⁻(S) を定義し、計算すること。
• 標準的符号付きグラフ（例：サイクル、パス、スターフラム、コロナ）がパリティ符号付きグラフであるかどうかを特徴づけること。
• 特に正または負の均一成分の存在に関する構造的制約を調査すること。
• 未解決問題を特定し、パリティラベリングおよび符号付きグラフ理論における今後の研究の方向性を示唆すること。

提案手法

• σ(uv) = + であるパリティ符号付きグラフ S = (G, σ) を定義する。ここで、f(u) と f(v) が同じパリティを持つ場合に σ(uv) = + となり、異なるパリティの場合は σ(uv) = – となる。
• 頂点に整数ラベルを割り当てるために、全単射 f: V(G) → {1, 2, ..., n} を用い、頂点のパリティに基づいて辺の符号を誘導する。
• このようなラベリングが存在して、与えられた辺の符号を実現できる場合に限り、符号付きグラフをパリティ符号付きグラフと特徴づける。
• パス、サイクル、スターフラム、完全グラフ、およびコロナ（J∘K）といった標準的グラフにパリティに基づくラベリングを適用する。
• 組合せ論的およびパリティ的議論を用いて、符号付きグラフがパリティ符号付きグラフであるための必要十分条件を証明する。
• 「rna」数 σ⁻(S) を導入し、パリティ符号付きグラフにおける負の辺の数として定義・計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの符号付きグラフが、辺の符号が頂点ラベルのパリティにのみ依存するパリティラベリングをもつのか？
• RQ2 どのグラフクラス（例：サイクル、パス、スターフラム、コロナ）に対して、負の均一パリティ符号付きグラフが存在するのか？
• RQ3 負の均一サイクルがパリティ符号付きグラフであるための必要十分条件は何か？
• RQ4 すべてのグラフがパリティ符号付きグラフを形成するようにラベリング可能か？もし不可能であれば、その制約となる構造的要因は何か？
• RQ5 「rna」数 σ⁻(S) とグラフの構造、特に完全グラフおよびコロナにおいてはどのような関係があるか？

主な発見

• 4以上の次数 n を持つ負の均一サイクルは、n が偶数である場合に限りパリティ符号付きグラフである。
• 任意の非自明な連結グラフに対して、正の均一パリティ符号付きグラフは存在しない。なぜなら、偶数ラベルの頂点は必ず奇数ラベルの頂点に隣接しなければならないからである。
• すべての辺が負のパス P_n は、頂点に連続する整数 1 から n をラベルづけることで、パリティ符号付きグラフとして実現可能である。
• コロナグラフ C_n ∘ K_1 は、n が偶数である場合に限り、負の均一パリティ符号付きグラフである。
• コロナグラフ K_n ∘ K_1 は、n ≤ 2 の場合にのみ負の均一パリティ符号付きグラフである。n ≥ 3 の場合、C_3 を部分グラフとして含むため、負の均一パリティ符号付きグラフにはなり得ない。
• 二つの負の均一パリティ符号付きグラフを橋で接続した符号付きグラフは、橋の辺の符号が接続された頂点のパリティと一致する限り、自身もパリティ符号付きグラフである。