[論文レビュー] Parity linkage and the Erd\H{o}s-P\'osa property of odd cycles through prescribed vertices in highly connected graphs

Felix Joos|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、高次連結なグラフにおける指定された頂点集合 S を通る奇サイクルについて、パリティ連携 Erdōs-Pósa 性質を確立する。強化されたパリティ-k-連結定理を用いて、任意の 50k-連結グラフ G と頂点部分集合 S に対して、G が k 個の素性の奇サイクルを含むか、あるいはすべての奇サイクル S-サイクルを消去するサイズが 2k−2 以下の頂点被覆 X が存在する。この境界はタイトである。本結果は、奇サイクルに関する従来の連結性に基づく Erdōs-Pósa 定理を一般化し、強化する。

ABSTRACT

We show the following for every sufficiently connected graph $G$, any vertex subset $S$ of $G$, and given integer $k$: there are $k$ disjoint odd cycles in $G$ each containing a vertex of $S$ or there is set $X$ of at most $2k-2$ vertices such that $G-X$ does not contain any odd cycle that contains a vertex of $S$. We prove this via an extension of Kawarabayashi and Reed's result about parity-$k$-linked graphs (Combinatorica 29, 215-225). From this result it is easy to deduce several other well known results about the Erd\H{o}s-P\'osa property of odd cycles in highly connected graphs. This strengthens results due to Thomassen (Combinatorica 21, 321-333), and Rautenbach and Reed (Combinatorica 21, 267-278), respectively.

研究の動機と目的

• 高次連結なグラフにおける指定された頂点集合 S を通る奇サイクルへの Erdōs-Pósa 性質の拡張。
• 奇サイクル S-サイクルのパッキングと被覆の双対性を、奇サイクル S-サイクル被覆のサイズに対するタイトな境界を確立することで解消すること。
• Thomassen、Rautenbach と Reed、Kawarabayashi と Reed が得た奇サイクルの Erdōs-Pósa 性質の連結性閾値に関する先行結果を一般化・強化すること。
• 50k-連結性が、奇サイクル S-サイクルの k 個の素性のサイクルの構成、または小さな奇サイクル S-サイクル被覆の構成を可能にするパリティ-k-連結構造を保証することを証明すること。

提案手法

• 50k-連結グラフで小さな奇サイクル S-サイクル被覆を持たない場合に、Kawarabayashi と Reed のパリティ-k-連結定理の強化版を活用する。
• 最小の奇サイクル被覆 X によって誘導されるグラフの良い分割 (A,B) を用いる。ここで X は補助グラフ GA,B の最小頂点被覆である。
• GA,B におけるマッチングの議論を用いて、|S′|=k を満たす S′⊆S の k 個の頂点をカバーする k 個の素性の辺を見つける。このとき、1 つの辺が S′ の 2 つの頂点を同時にカバーしないようにする。
• 補題 10 (Lemma 10) を用いて、GA,B のマッチングから k 個の素性の奇サイクル S′-サイクルを構成し、これにより G における k 個の素性の奇サイクル S-サイクルが得られることを示す。
• 被覆サイズの境界を 2k−2 + τk(G[S]) ≤ 3k−3 に精緻化するために、τk(G[S]) = min_{S′⊆S, |S′|=k} τ(G[S′]) を導入する。
• 極値的議論と構造的グラフ理論を用いて、2k−2 および 3k−3 の境界のタイト性を、明示的な構成により示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次連結なグラフにおける指定された頂点集合 S を通る奇サイクルに対する Erdōs-Pósa 性質を拡張できるか？
• RQ2 k 個の素性の奇サイクル S-サイクルが存在するか、またはサイズが 2k−2 以下の小さな奇サイクル S-サイクル被覆が存在するように保証する最小の連結性閾値は何か？
• RQ3 奇サイクル S-サイクル被覆サイズの境界 2k−2 は、すべての連結性レベルに対してタイトか？
• RQ4 奇サイクル S-サイクル被覆のサイズは、S の構造、特に S に大きなクリークや独立集合が含まれる場合にどのように関係するか？
• RQ5 パリティ-k-連結定理を用いて、奇サイクル S-サイクルのタイトな Erdōs-Pósa 型結果を導出できるか？

主な発見

• 任意の 50k-連結グラフ G と頂点集合 S に対して、G は k 個の素性の奇サイクル S-サイクルを含むか、あるいはすべての奇サイクル S-サイクルを消去するサイズが 2k−2 以下の頂点被覆 X が存在する。
• |S| ≥ k ならば、被覆の場合に、G−X が二部グラフであるようなサイズが 3k−3 以下の頂点被覆 Y が存在し、この境界はタイトである。
• 完全二部グラフに片側にクリークを追加した構成により、奇サイクル S-サイクル被覆の境界 2k−2 がタイトであることが示された。
• S に τ-クリークが含まれる場合、3k−3 の境界はタイトであり、被覆サイズは 2k−3 + τ(G[S]) となる（τ ≤ k のとき）。
• 本論文は、50k-連結性が、小さな奇サイクル S-サイクル被覆を持たないグラフにおいてパリティ-k-連結性を保証することを証明し、これが主結果の根拠となっている。
• 本結果は、Thomassen（二重指数的）、Rautenbach と Reed（線形）、Kawarabayashi と Reed（24k）の先行結果を一般化・強化し、今や 50k が連結性閾値として達成された。