[論文レビュー] Parity Sequences of the 3x+1 Map on the 2-adic Integers and Euclidean Embedding

Olivier Rozier|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2018

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3x+1写像における2進整数とそのパリティ列の間の一対一対応を確立し、新たな逆変換公式を導出し、2進整数上での誘導された自己同型が多数の奇数不変集合上で遍歴的であることを証明するとともに、2つの奇数の2周期軌道を示している。さらに、3x+1集合のユークリッド平面上への埋め込みを導入し、関数方程式を通じてアフィン自己相似性を示し、ハウスドルフ次元1を有する複雑で非一様なフラクタル構造を明らかにした。

ABSTRACT

In this paper, we consider the one-to-one correspondence between a 2-adic integer and its parity sequence under iteration of the so-called "3x+1" map. First, we prove a new formula for the inverse transform. Next, we briefly review what is known about the induced automorphism and study its dynamics on the 2-adic integers. We find that it is ergodic on many small odd invariant sets, and that it has two odd cycles of period 2 in addition to its two odd fixed points. Finally, a plane embedding is presented, for which we establish affine self-similarity by using functional equations.

研究の動機と目的

• 2進整数とその3x+1写像下でのパリティ列との間の一対一対応を確立すること。
• 既知の定式化を改善する、パリティ列の逆変換のための新たな公式を導出すること。
• 3x+1写像によって誘導される2進整数上での自己同型のダイナミクスを解析すること、特に遍歴性および周期的挙動に注目すること。
• 3x+1集合のユークリッド平面上への埋め込みを構築し、関数方程式を用いてそのアフィン自己相似性を証明すること。
• 埋め込まれた3x+1集合のハウスドルフ次元を特定し、すべてのスケールにおけるその幾何学的構造を分析すること。

提案手法

• 共役関数Uを用いて新たな逆変換公式を導出し、奇数項を多く含む列に対して計算を簡略化する第二の逆写像の定式化を達成する。
• 関数方程式を用いて、2つの座標関数MおよびM∘Qを介して2進整数を平面上に埋め込む。
• 関数方程式(17)および(18)を用いて、スケーリングおよびシフトされた埋め込み集合のコピー間の自己相似関係を確立する。
• 埋め込みが偶数および奇数の2進整数それぞれに対して成り立つアフィン自己相似関係式(27)および(28)を満たすことを証明する。
• 2^{1−k}の長さをもつdyadic区間を用いたボックスカウントの議論により、埋め込み集合のハウスドルフ次元を評価する。
• 再帰的分解を用いて、ボックスI_k、J_kおよびそれらの積を介して、対角線上にカスケード的自己相似パターンを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パリティ列から2進整数への逆写像の正確な代数的構造は何か。また、奇数項を多く含む場合に計算効率を高める再定式化は可能か。
• RQ2 3x+1写像によって誘導される自己同型は、2進整数上でどのようにダイナミクス的に振る舞うか。特に、遍歴性および周期軌道に関しては。
• RQ3 3x+1集合をユークリッド平面上に埋め込むことで、自己相似的な幾何学的構造を明らかにできるか。
• RQ4 埋め込みされた3x+1集合の自己相似的性質を支配する関数方程式は何か。また、それらは2進整数上のダイナミクスとどのように関係するか。
• RQ5 埋め込みられた3x+1集合のハウスドルフ次元は何か。また、それは集合の幾何学的複雑性をどのように反映するか。

主な発見

• 本稿は、特に奇数項を多く含む場合に計算を簡略化する新たな逆変換公式(7)を提示している。
• 2進整数上での誘導された自己同型は、多数の小さな奇数不変集合上で遍歴的であることが示され、軌道の分布が複雑で均一に近い性質を示している。
• 自己同型は2つの奇数の不動点と、2つの追加の奇数2周期軌道を有しており、2進整数上のダイナミクスに非自明な周期的構造が存在することを示している。
• ユークリッド平面上への3x+1集合の埋め込みは、偶数入力に対して(27)、奇数入力に対してk≥2の条件下で(28)が成り立つ関数方程式を通じてアフィン自己相似性を示している。
• 2^k個の辺の長さが2^{1−k}のボックスを用いたボックスカウントの議論により、集合のハウスドルフ次元が1であることが示された。
• 埋め込みは対角線Δに沿ってカスケード的自己相似構造を示しており、最初の正方形J_2²は、kが偶数かつk≥4のJ_k²のスケーリングコピーおよびkが奇数かつk≥3のI_k×J_kのコピーに加え、(1/2,1/2)に分離した点を含む。