[論文レビュー] Parity-Time Symmetry Breaking beyond One Dimension: The Role of Degeneracy

Li Ge, A. Douglas Stone|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2014

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、高次元非エルミート系におけるパリティ・タイム（PT）対称性の破れを調査し、スペクトルの degeneracy が標準的 PT 転移を妨げる理由を示している。特に、追加の離散的対称性が保たれない限り、標準的 PT 転移は不可能である。実スペクトルは、対称性保護された部分空間が存在する場合に限り、有限区間の増幅・減衰強度で維持可能であり、マルチモード結合が有限の破れ強度で PT 対称性を回復させることも示されている。また、RT 対称性下では PT 対称性と比較して性質的に異なる挙動を示す。

ABSTRACT

We consider the role of degeneracy in Parity-Time (PT) symmetry breaking for non-hermitian wave equations beyond one dimension. We show that if the spectrum is degenerate in the absence of T-breaking, and T is broken in a generic manner (without preserving other discrete symmetries), then the standard PT-symmetry breaking transition does not occur, meaning that the spectrum is complex even for infinitesimal strength of gain and loss. However the realness of the entire spectrum can be preserved over a finite interval if additional discrete symmetries X are imposed when T is broken, if X decouple all degenerate modes. When this is true only for a subset of the degenerate spectrum, there can be a partial PT transition in which this subset remains real over a finite interval of T-breaking. If the spectrum has odd-degeneracy, a fraction of the degenerate spectrum can remain in the symmetric phase even without imposing additional discrete symmetries, and they are analogous to dark states in atomic physics. These results are illustrated by the example of different T-breaking perturbations of a uniform dielectric disk and sphere, and a group theoretical analysis is given in the disk case. Finally, we show that multimode coupling is capable of restoring the T-symmetric phase at finite T-breaking. We also analyze these questions when the parity operator is replaced by another spatial symmetry operator and find that the behavior can be qualitatively different.

研究の動機と目的

• 高次元非エルミート系におけるスペクトルのデジェネラシーが、標準的 PT 対称性の破れ転移に与える影響を理解すること。
• 非エルミート的増幅・減衰摂動が加わっても、全スペクトルまたは部分スペクトルが実数のままである条件を特定すること。
• 追加の離散的対称性（例：χ）およびマルチモード結合が、PT 対称状態を回復させる役割を分析すること。
• 高次元における PT 対称系と RT 対称系の挙動を比較すること。
• デジェネレートスペクトルにおける保護モードを分類するための群論的枠組みを提供すること。

提案手法

• デジェネレートモード間の相互作用を PT 破れ摂動下でモデル化するためのカップルドモード理論を開発した。
• 2D の誘電体ディスクにおける不変部分空間の特定を目的に、群論的解析を適用し、既約表現を分類した。
• 球体およびディスクモデルにおいて、固有値問題を 3×3 カップリング行列の固有値方程式に簡略化した。
• カップリング行列から導かれる三次方程式の判別式が、実固有値の出現および位相の回復の臨界点を決定する。
• 数値的シミュレーションにより、増幅・減衰強度 τ の関数として固有振動数の変化を追跡し、実スペクトルおよび複素スペクトル領域を特定した。
• PT 対称性と RT 対称性の両方の下で系を解析し、高次元における両者の異なる挙動を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デジェネレートで高次元な系において、一般の PT 破れ摂動下で標準的 PT 対称性の破れ転移が成立しない条件は何か？
• RQ2 追加の離散的対称性（χ）が、PT 破れ強度の有限区間で実スペクトルを維持可能にする仕組みは何か？
• RQ3 初期に複素スペクトルである場合でも、マルチモード結合が有限の増幅・減衰強度で PT 対称状態を回復可能か？
• RQ4 奇数重のデジェネラシーが、追加の対称性がなくても、スペクトルの一部を実数のままに可能にする役割は何か？
• RQ5 PT 対称性を RT 対称性に置き換えた場合、高次元系におけるスペクトル挙動はどのように変化するか？

主な発見

• 一般の PT 破れ摂動下では、無限小の増幅・減衰強度でもスペクトルは複素数に変化し、標準的 PT 転移は成立しない。
• 追加の離散的対称性 χ が保たれ、デジェネレートモードが分離される場合、τ の有限区間で全スペクトルが実数のまま維持可能である。
• χ によってデジェネレートモードの一部が分離される場合、部分的 PT 転移が発生し、その部分のみが実数のままである。
• 奇数重のデジェネラシーを持つ系では、追加の対称性がなくても、スペクトルの一部が実数のまま維持可能であり、原子物理学におけるダーク状態に類似している。
• マルチモード結合により、有限の τ で PT 対称状態が回復可能である。G_o0 が 30% 増加した際、τ∈[0.152,0.166] の区間で実スペクトルが回復した。
• RT 対称系では、対応する PT 対称系が実スペクトルを持たない場合でも、完全に実スペクトルを示すことがある。これは、性質的に異なる挙動を示している。