[論文レビュー] Park City lectures on elliptic curves over function fields

Douglas Ulmer|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限体上の関数体上の楕円曲線に関する基礎的結果を提示し、楕円曲面とヤコビアンを通じて、BirchとSwinnerton-Dyer予想とTate予想の間の関係を確立する。関数体拡張の塔において、Mordell-Weilランクが無限大に達する楕円曲線の明示的構成を、Bergerの構成とガロア降下を用いて行い、d = 2pf−1 の場合にランクが少なくとも d−1 に達し、p と互いに素なすべての d に対してはランクが d に達する。

ABSTRACT

These are the notes from a course of five lectures at the 2009 Park City Math Institute. The focus is on elliptic curves over function fields over finite fields. In the first three lectures, we explain the main classical results (mainly due to Tate) on the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture in this context and its connection to the Tate conjecture about divisors on surfaces. This is preceded by a "Lecture 0" on background material. In the remaining two lectures, we discuss more recent developments on elliptic curves of large rank and constructions of explicit points in high rank situations.

研究の動機と目的

• 関数体上の楕円曲線の古典的理論、特にBirchとSwinnerton-Dyer予想およびTate予想の類似を確立すること。
• 関数体上の楕円曲線の算術を、楕円曲面の幾何学および曲面上の除数のコホモロジーと結びつけること。
• 関数体拡張の塔において、Mordell-Weilランクが無限大に達する楕円曲線の明示的族を構成すること。
• Kd = Fq(t1/d) 上の有理点を、特に d = 2pf−1 または p と互いに素な d の形において、高ランクを達成するように明示的に構成すること。
• 関数体における高ランク現象が、素朴な方法でアクセス可能であり、1960年代に発見可能であった可能性を示すこと。

提案手法

• 有限体上の滑らかで射影的な曲線 C に対応する関数体 K = Fq(C) の理論を用いる。ここでの場所 v は閉点に対応する。
• アーベル多様体の準同型に関するTateの定理とNéron-Tate高さペアリングを用い、Mordell-Weil群内の点の独立性を分析する。
• Bergerの構成を用いる：有理関数 f と g が与えられると、曲線 f(x) = t g(y) は genus 1 の曲線を定め、そのヤコビアンは楕円曲線 E にアイソジェニである。
• ガロア降下と μd（単位根）が曲線 Cd と Dd のヤコビアンに作用することを用い、ヤコビアン間の μd 不変な準同型を構成する。
• 有限体上のアーベル多様体の同種類のHonda-Tate理論を用い、Hom(JCd, JDd)μd のランクを有界化する。
• φ ∘ Frpf の引き戻しを用いて、トーチョン点の引き戻しにより E(Kd) 上の明示的点を構成し、μd 不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上の楕円曲線の文脈において、BirchとSwinnerton-Dyer予想とTate予想はどのように関係し合うか？
• RQ2 Kd = Fq(t1/d) 上の楕円曲線のMordell-Weil群が、d を変化させた際に無限ランクをとるための条件は何か？
• RQ3 関数体拡張上の楕円曲線に対して、明示的な有理点を構成し、高ランクを実現できるか？
• RQ4 ガロア群の作用およびヤコビアン上の μd の作用が、Mordell-Weil群の構造にどのように影響するか？
• RQ5 フロベニウス準同型が、高ランクを達成するために、ヤコビアン間の μd 不変な準同型を構成するために果たす役割は何か？

主な発見

• p > 2 で、E が K = Fp(t) 上 y² + xy + ty = x³ + tx² で定義されるとき、P(ζi_d t^{1/d}) (i = 0, ..., d−1) は E(Kd) の部分群を生成し、そのランクは d−2 である。
• 点の間の関係は、∑_{i=0}^{d−1} Pi および ∑_{i=0}^{d−1} (−1)^i Pi がトーチョンであるため、Mordell-Weil群内で有限指数をもつことが確認される。
• d = 2pf−1 の場合、E(Fp(t^{1/d})) のランクは少なくとも d−1 に達し、μd 不変準同型 (φ ∘ Frpf)*: JCd → JDd を通じて達成される。
• さらなる構成において、任意の p に対して、Fp(t) 上に楕円曲線 E が存在し、すべての p と互いに素な d に対して Rank E(Fp(t^{1/d})) ≥ d が成り立つ。
• Fp(μd)(t^{1/d}) 上で d = pf + 1 の場合に明示的な点を構成することで、素朴で1960年代に到達可能だった方法で無限ランクを達成する。
• 最初の例における曲線の導手の次数は d+2 であり、これは Lecture 4 の Corollary 2.2.2 のランク公式と整合的である。