[論文レビュー] Parking functions and triangulation of the associahedron

Jean-Louis Loday|ArXiv.org|Oct 18, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、パーミュートヘドロンの最高次元単体とパーキング関数の間の自然な全単射を確立し、両者の集合のサイズが $(n+1)^{n-1}$ に一致することを示している。シャッフルと面分解に基づく帰納的構成を用いて、弱ブルハート順序と整合する、アソシアヘドロンおよびパーミュートヘドロンの最小三角形分割を提供し、これらの多面体を単体的集合の幾何的実現として実現している。

ABSTRACT

We show that a minimal triangulation of the associahedron (Stasheff polytope) of dimension n is made of (n+1)^{n-1} simplices. We construct a natural bijection with the set of parking functions from a new interpretation of parking functions in terms of shuffles.

研究の動機と目的

• アソシアヘドロン（スターシェフ多面体）の、タマリ順序と辺の向きと整合する最小三角形分割を構成すること。
• この三角形分割における最高次元単体の数が $(n+1)^{n-1}$ であることを示すこと。この数はパーキング関数の数と一致する。
• 長さ $n$ のパーキング関数の集合とアソシアヘドロンの最高次元単体の間の自然な全単射を定義すること。
• この構成をパーミュートヘドロンに拡張し、その三角形分割に類似の帰納的構造を提案すること。

提案手法

• タマリ順序から導かれる向き付き単体を用いて、アソシアヘドロンを単体的集合の幾何的実現として構成する。
• 新しいシャッフルに基づく帰納的分解を用いてパーキング関数を定義する：$PF_n = \bigcup_{p+q=n-1} \big\bracevert \{1,\ldots,p+1\} \times Sh(p,q) \times PF_p \times PF_q \big\}$。
• $S_n$ 上の弱ブルハート順序を用いてパーミュートヘドロンの辺の向きを定め、三角形分割と整合することを保証する。
• 頂点を含まない面を用いて南極点のコーンを用いて、パーミュートヘドロン $\mathcal{P}^n$ の三角形分割を帰納的に構成する。
• $SM(n,p)$ を $[n+1]$ から $[p+1]$ への順序付き全射の集合とし、最大の写像 $f_0$ を除くものとする。これを面のパrametrizationに用いる。
• 最高次元単体の再帰的公式 $ZP_n = \bigcup_{p=0}^{n-1} SM(n,p) \times Sh(p,n-p-1) \times ZP_p \times ZP_{n-p-1}$ を、$\mathcal{P}^n$ の最高次元単体に確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アソシアヘドロンの最高次元単体と長さ $n$ のパーキング関数の間には、自然な全単射が存在するか？
• RQ2 タマリ順序の辺の向きと整合するように、アソシアヘドロンを最小三角形分割できるか？
• RQ3 $(n+1)^{n-1}$ という数は、パーキング関数の数と、アソシアヘドロンの最小三角形分割における最高次元単体の数の両方を数えるか？
• RQ4 シャッフルと面分解に基づく類似の帰納的構造を用いて、パーミュートヘドロンを三角形分割できるか？
• RQ5 パーミュートヘドロンの最高次元単体の再帰的公式を満たす、パーキング関数の組合せ的類似物は何か？

主な発見

• 次元 $n$ のアソシアヘドロンの最小三角形分割における最高次元単体の数は、正確に $(n+1)^{n-1}$ であり、長さ $n$ のパーキング関数の数と一致する。
• シャッフルに基づく帰納的分解を用いて、パーキング関数 $PF_n$ の集合とアソシアヘドロンの最高次元単体の間の自然な全単射が構成された。
• アソシアヘドロンの三角形分割は、タマリ順序が誘導する辺の向きと整合しており、単体的集合の幾何的実現である。
• パーミュートヘドロン $\mathcal{P}^n$ は、$\#ZP_n$ 個の最高次元単体をもつ三角形分割を有し、$n = 0$ から $8$ までで $1, 1, 4, 34, 488, 10512, \ldots$ となる。この数列は $SM(n,p)$ とシャッフルを含む再帰的公式を満たす。
• パーミュートヘドロンの三角形分割の再帰的構造はパーキング関数のそれと類似しており、パーミュートヘドロンのためのパーキング関数の組合せ的類似物の存在を示唆している。