[論文レビュー] Parrondo games with spatial dependence and a related spin system, II

S. N. Ethier, Jiyeon Lee|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、空間的依存性を有する協力的パラソンドゲームにおける非ランダムな周期的戦略を調査し、周期パターン $A^rB^s$ の1ターンあたりの平均利益が、$\gamma = r/(r+s)$ を用いたランダム混合 $\gamma A + (1-\gamma)B$ と同じ極限に収束することを示している。収束は極限スピン系を介して確立され、パラソンド効果——個々のゲームが負であるにもかかわらず周期的戦略が勝利する現象——は、特定のパrameter設定下で $N$ が偶数である場合に限り発生することが示された。

ABSTRACT

Let game B be Toral's cooperative Parrondo game with (one-dimensional) spatial dependence, parameterized by N (3 or more) and p_0,p_1,p_2,p_3 in [0,1], and let game A be the special case p_0=p_1=p_2=p_3=1/2. Let mu_B (resp., mu_(1/2,1/2)) denote the mean profit per turn to the ensemble of N players always playing game B (resp., always playing the randomly mixed game (1/2)(A+B)). In previous work we showed that, under certain conditions, both sequences converge and the limits can be expressed in terms of a parameterized spin system on the one-dimensional integer lattice. Of course one can get similar results for mu_(gamma,1-gamma) corresponding to gamma A+(1-gamma)B for 0

研究の動機と目的

• 非ランダムな周期的戦略 $A^rB^s$ の下での協力的パラソンドゲームの長期的挙動を分析すること。
• 1ターンあたりの平均利益 $\mu_{[r,s]}^N$ が、$\gamma = r/(r+s)$ を用いたランダム混合 $\mu_{(\gamma,1-\gamma)}^N$ と同じ極限に収束することを確立すること。
• 特に $p_0=1$, $p_1=p_2\in(1/2,1)$, $p_3=0$ の設定下で、周期的ケースにおけるパラソンド効果が発生する条件を調査すること。
• $N$ プレイヤー系の極限挙動を、$\mathbb{Z}$ 上のパrameter化されたスピン系に結びつけることにより、定常分布および平均利益の解析的特徴づけを可能にすること。

提案手法

• プレイヤーの状態（勝者／敗者）を追跡する離散時間マルコフ連鎖を $\{0,1\}^N$ 上に定式化し、隣接プレイヤーに依存する遷移確率を考慮する。
• 周期的戦略 $A^rB^s$ を、$r$ ラウンドのゲーム $A$ の後、$s$ ラウンドのゲーム $B$ を繰り返す決定論的サイクルとして定義し、状態に依存するコインの偏り $p_0, p_1, p_2, p_3$ に従う。
• 弱収束の議論を用いて、$N$ プレイヤーの連鎖 $\bm{P}_A^r \bm{P}_B^s$ の定常分布 $\bm{\pi}^N$ が、$\gamma = r/(r+s)$ を用いた $\mathbb{Z}$ 上の極限スピン系の定常分布 $\pi^{\gamma}$ に弱収束することを示す。
• 平均利益 $\mu_{[r,s]}^N$ を定常分布と報酬関数のトレースとして表現し、$N \to \infty$ の極限で $\mu_{(\gamma,1-\gamma)}^N$ と同じ式に収束することを示す。
• 周期的戦略下での利益列に対して強大数法則（SLLN）を適用し、局所的状態分布を用いた $\mu_{[r,s]}^N$ の明示的表現を導出する。
• カップリングの議論と $N^{-1}$ における漸近展開を用いて、プレイヤーの位置や隣接構成に依存する項、特に $c_i(\bm{x})$（プレイヤー $i$ のコイン選択確率を示す）を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N \to \infty$ のとき、周期的戦略 $A^rB^s$ の1ターンあたりの平均利益 $\mu_{[r,s]}^N$ は、$\gamma = r/(r+s)$ を用いたランダム混合 $\mu_{(\gamma,1-\gamma)}^N$ と同じ極限に収束するか？
• RQ2 パラソンド効果——ゲーム $B$ が負であるが $A^rB^s$ が勝利する——が周期的戦略で発生する条件は何か？
• RQ3 $N$ プレイヤー系の極限挙動は、1次元整数格子上のパrameter化されたスピン系で記述可能か？
• RQ4 $\mu_{[r,s]}^N$ の収束速度は、$\mu_{(\gamma,1-\gamma)}^N$ と比べてどの程度か？
• RQ5 $p_0=1$, $p_1=p_2\in(1/2,1)$, $p_3=0$, および $s=1$ の場合、パラソンド効果は存在するか？もしあるならば、$N$ のどの値に対して成立するか？

主な発見

• 極限スピン系の正規性が保証される条件下で、周期的戦略 $A^rB^s$ の1ターンあたりの平均利益 $\mu_{[r,s]}^N$ は、$\gamma = r/(r+s)$ を用いたランダム混合 $\mu_{(\gamma,1-\gamma)}^N$ と同じ極限に収束する。
• 特定のパrameterセット $p_0=1$, $p_1=p_2\in(1/2,1)$, $p_3=0$ に対しては、パラソンド効果が $N$ が偶数である場合に限り発生し、少なくとも $s=1$ の場合に成立する。このとき $\mu_B^N \leq 0$ かつ $\mu_{[r,s]}^N > 0$ である。
• $N$ プレイヤー系の極限定常分布は、$\gamma = r/(r+s)$ に対応する有効パラメータ $p_i(\gamma)$ によって定まる遷移率を持つ、$\mathbb{Z}$ 上のスピン系の定常分布に弱収束する。
• $\mu_{[r,s]}^N$ の収束は弱収束の議論と $N^{-1}$ における漸近展開を用いて確立され、$N \to \infty$ のとき誤差が $o(1)$ であることが示された。
• 数値的証拠から、$\mu_{[r,s]}^N$ の収束は $\mu_{(\gamma,1-\gamma)}^N$ よりも遅く、$N=18$ では $\mu_{[1,1]}^N$ は極限値を2桁の有効数字でしか再現しないが、$N=19$ では $\mu_{(1/2,1/2)}^N$ は11桁の有効数字に安定する。
• 平均利益 $\mu_{[r,s]}^N$ は $\mu_{(\gamma,1-\gamma)}^N$ と漸近的に等しく、極限は $\mu_{(\gamma,1-\gamma)} = (1-\gamma)\sum_{w,z=0}^1 (\pi^\gamma)_{-1,1}(w,z)(p_{2w+z} - q_{2w+z})$ として表され、ここで $\pi^\gamma$ はスピン系の定常分布である。