[論文レビュー] Partial actions and automata

Mikhailo Dokuchaev, Boris Novikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

semigroups and automata theory参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、自由モノイド Σ∗ の部分的作用を用いて一般化された有限オートマトンの一般化としてpreautomataを導入し、正則言語を超える言語の認識を可能にする。preautomataが認識する言語は、前綴コードとスターカLOSEド集合の直和に分解されることを確立し、Eilenbergの定理を一般化するが、Kleeneの定理は成り立たないことを示しており、preautomataが有限オートマトンよりも厳密に大きいクラスの言語を認識することを示している。

ABSTRACT

We use the notion of a partial action of a monoid to introduce a generalization of automata, which we call "a preautomaton". We study properties of preautomata and of languages recognized by preautomata.

研究の動機と目的

• 自由モノイド Σ∗ の部分的作用を用いて、有限オートマトンを一般化するpreautomataを導入すること。
• preautomataの性質およびそれらが認識する言語の性質、特に古典的オートマトン理論との関係を調査すること。
• Kleeneの定理やMyhill–Nerodeの定理といった古典的結果がpreautomataへと拡張されるかどうかを調査すること。
• preautomataと有限オートマトン、スタックオートマトン、チューリングマシンとの間の表現力の比較を行うこと。
• preautomataと前綴コードとの関係を明確にし、それらが認識する言語を特徴付けること。

提案手法

• 部分的写像 X × M ⇢ X としてpreactionを定義し、結合則および単位元の条件を満たすものとし、完全な群／モノイド作用の一般化とする。
• δ* : X × Σ* ⇢ X が部分的写像として部分的結合則および単位元公理を満たす三元組 (Σ, X, δ*) としてpreautomataを導入する。
• X × Σ* 上の同値関係 ≈ を、(x,a) ≈ (y,b) であるとは、∃a',b',p が存在して a=a'p, b=b'p かつ xa'=yb'≠∅ であると定義し、preautomatonのグローバライゼーションを構成する。
• 前綴分解に関するEilenbergの定理を用いて、preautomataが認識する言語の構造を一般化する。
• 右同値関係（right syntactic congruences）を用いてMyhill–Nerodeの定理を適用し、言語の認識可能性および非認識可能性を分析する。
• Kleeneの定理がpreautomataに対して成り立たないことを示す反例を構成する。具体的には、{aⁿbⁿ} や {aⁿbⁿcⁿ} のような正則でも、文脈自由でもない言語がpreautomataによって認識可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由モノイド Σ∗ の部分的作用を用いてオートマトンの概念を一般化できるか。また、そのような一般化された機械（preautomata）が持つ性質は何か。
• RQ2 オートマトン理論における古典的結果（例：前綴分解に関するEilenbergの定理、正則言語に関するKleeneの定理）がpreautomataへとどの程度拡張可能か。
• RQ3 preautomataが認識する言語のクラスと、他の古典的言語クラス（例：正則、文脈自由、 recursively enumerable）との関係は何か。
• RQ4 preautomataが認識できるが、有限オートマトン、スタックオートマトン、あるいはそもそもチューリングマシンでも認識できない言語は存在するか。
• RQ5 preautomataが認識する言語の構造は、前綴コードとそのスターカLOSEド集合を用いて完全に特徴付けられるか。

主な発見

• preautomataが認識する言語は、直和 ⨆ᵢ HᵢCᵢ* の形に分解され、Hᵢ および Cᵢ は前綴コードである。これはEilenbergの定理を一般化する。
• Kleeneの定理はpreautomataに対して成り立たない：{aⁿbⁿ} や {aⁿbⁿcⁿ} のような非正則言語（文脈自由でもない）を認識するpreautomataが存在する。
• 有限preautomata（FPA）のクラスは、有限オートマトン（FA）のクラスを厳密に含む。これは、あるpreautomatonが認識するが、いかなる有限オートマトンでも認識できない言語によって示される。
• 有限preautomataのクラスはスタックオートマトン（FSA）を含まない。なぜなら、{aⁿbⁿcⁿ} は文脈自由ではないが、preautomatonによって認識可能だからである。
• 有限preautomataのクラスは、和、積、反復に関して閉じていない。これは、合成関係が非可算個の同値類を持つ反例によって示される。
• {aⁿ²} という言語は、いかなる有限オートマトンでもpreautomatonでも認識できない。これはFPAがすべての recursively enumerable 言語を認識できるほど強くないことを示している。