[論文レビュー] Partial actions and proper extensions of two-sided restriction semigroups

Kudryavtseva, Ganna|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

semigroups and automata theory参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2方向制限半群 S の適切な拡張の圏と、S の特定の部分作用の圏の間で圏同値を確立し、逆半群の冪等元純粋拡張に関する O’Carroll の結果を一般化する。新たに導入された前準同型のクラス（局所的強さ、乗法的など）を用い、適切な拡張が部分作用積として分解され、その構造が随伴と反映的／コリフレクティブな部分圏を通じて完全に記述されることを示す。

ABSTRACT

We prove a structure result on proper extensions of two-sided restriction semigroups in terms of partial actions, generalizing respective results for monoids and for inverse semigroups and upgrading the latter. We introduce and study several classes of partial actions of two-sided restriction semigroups that generalize partial actions of monoids and of inverse semigroups. We establish an adjunction between the category P(S) of proper extensions of a restriction semigroup S and a category A(S) of partial actions of S subject to certain conditions going back to the work of O'Carroll. In the category A(S), we specify two isomorphic subcategories, one being reflective and the other one coreflective, each of which is equivalent to the category P(S).

研究の動機と目的

• 2方向制限半群における逆半群の冪等元純粋拡張に関する O’Carroll の構造的結果を一般化すること。
• モノイドおよび逆半群における既知の概念を拡張する、制限半群における部分作用および前準同型の枠組みを構築すること。
• 制限半群 S の適切な拡張の圏と、S の特定の部分作用の圏との間で圏同値を確立すること。
• 順序を保つ、強さ、局所的強さ、乗法的、局所的乗法的といった、既存のものに一般化された新しい前準同型クラスを導入し、それらを研究すること。
• F-準同型およびFA-準同型を、それらに付随する前準同型を用いて特徴づけ、最大セクションを介して適切な拡張を捉える役割を示すこと。

提案手法

• 制限半群間の前準同型を定義し、それらを半格に沿った部分双対写像による部分作用と関連付ける。
• Y が半格で φ が S の部分作用であるとき、部分作用積 $ Y \rtimes_q^\phi S $ を定義する。条件 (A1) から (A4) を課す。
• 自然な射影 $ \hat{\psi} $ と $ \tilde{\psi} $ を用いて、$ Y \rtimes_q^\phi S $ が制限半群であり、S の適切な拡張であることを証明する。
• 適切な拡張 $ \psi: T \to S $ から、2つの基本的な前準同型 $ \hat{\psi} $ と $ \tilde{\psi} $ を構成し、どちらを用いても $ T \cong P(T) \rtimes S $ が成り立つことを示す。
• 適切な拡張の圏 $ \mathcal{P}(S) $ と部分作用の圏 $ \mathcal{A}(S) $ の間で随伴を確立し、反映的／コリフレクティブな部分圏を導入する。
• 各ファイバーに最大元が存在する場合に F-準同型を定義し、その性質（順序を保つ、局所的強さなど）が関連する前準同型の性質と関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限半群の適切な拡張の構造は、どのように部分作用の言語で記述できるか？
• RQ2 制限半群の文脈において、逆半群やモノイドにおけるそれらの概念を一般化する部分作用および前準同型のクラスは何か？
• RQ3 制限半群 S の適切な拡張の圏と、その部分作用の圏との間の圏的関係は何か？
• RQ4 F-準同型またはFA-準同型が生じる条件は何か？ それらの性質は、関連する前準同型とどのように関係するか？
• RQ5 適切な拡張 $ \psi $ に付随する前準同型 $ \hat{\psi} $ と $ \tilde{\psi} $ の性質は、拡張の構造をどのように決定づけるか？

主な発見

• 制限半群 S の適切な拡張の圏 $ \mathcal{P}(S) $ は、S の部分作用の圏 $ \mathcal{A}(S) $ と同値であり、反映的／コリフレクティブな部分圏も $ \mathcal{P}(S) $ と同値である。
• 適切な拡張 $ \psi: T \to S $ は、$ P(T) \rtimes S $ として部分作用積に分解され、ここで $ P(T) $ は T の冪等元の半格である。この分解は $ \hat{\psi} $ または $ \tilde{\psi} $ を用いて成り立つ。
• モノイド S に対して、圏 $ \mathcal{P}(S) $ と $ \mathcal{A}(S) $ は同値であり、同様に $ \mathcal{P}_s(S) $ と $ \mathcal{A}_s(S) $ は同値である。これは逆半群における既知の結果を拡張する。
• F-準同型は、各ファイバーに最大元が存在する適切な準同型として定義され、関連する写像 $ \tau(s) = \max \{ t \in T : \psi(t) = s \} $ は前準同型である。
• 前準同型 $ \psi $ の性質（例：順序を保つ、局所的強さ、乗法的）は、対応する $ \hat{\psi} $ と $ \tilde{\psi} $ の性質と同値であり、明確な対応関係が確立される。
• F-準同型のクラスは F-制限モノイドを一般化し、FA-準同型は追加の適切な F-制限モノイドを一般化する。S と T が逆半群である場合には、その区別は消える。