[論文レビュー] Partial Automorphisms and Injective Partial Endomorphisms of a Finite Undirected Path

Ilinka Dimitrova, Vítor H. Fernandes+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2021

semigroups and automata theory参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、n 個の頂点を持つ有限無向パス Pn の単射部分自己準同型 (IEnd(Pn)) および部分自己同型 (PAut(Pn)) のモノイドのランクとグリーン関係を決定する。区間を保存する変換の構造的解析と生成集合の最小化を用いて、正確な公式を導出する：n≥4 のとき、rank(PAut(Pn)) = n−1 であり、n≥4 のとき、rank(IEnd(Pn)) = n + ⌈n/2⌉ − 2 である。より小さい n に対しても閉形式が与えられる。結果は部分写像の分解と逆モノイドの技法によって確立される。

ABSTRACT

In this paper, we study partial automorphisms and, more generally, injective partial endomorphisms of a finite undirected path from Semigroup Theory perspective. Our main objective is to give formulas for the ranks of the monoids $IEnd(P_n)$ and $PAut(P_n)$ of all injective partial endomorphisms and of all partial automorphisms of the undirected path $P_n$ with $n$ vertices. We also describe Green's relations of $PAut(P_n)$ and $IEnd(P_n)$ and calculate their cardinals.

研究の動機と目的

• 有限無向パス Pn における単射部分自己準同型および部分自己同型のモノイド IEnd(Pn) と PAut(Pn) の最小生成集合（ランク）を特定すること。
• 区間を保存する部分写像の構造的性質を用いて、IEnd(Pn) におけるグリーン関係 L, R, H, J および逆モノイド PAut(Pn) における J を明示的に記述すること。
• IEnd(Pn) および PAut(Pn) の濃度を計算し、正確な組合せ的数え上げを提供すること。
• 特に PAut(Pn) に属する要素と IEnd(Pn)\PAut(Pn) に属する要素のランクおよび定義域／像の構造を分析することで、IEnd(Pn) の最小生成集合を確立すること。
• パスグラフにおける IEnd(Pn) のランクを計算するという未解決問題を解決し、従来の自己準同型モノイドに関する研究を拡張すること。

提案手法

• IEnd(Pn) および PAut(Pn) の要素を、その定義域における最大区間上で定義された変換に分解し、区間の保存性を主要な構造的制約として用いる。
• 最大区間における順序を保つまたは順序を反転させる振る舞いの概念を用いて、IEnd(Pn) および PAut(Pn) への属する条件を特徴づけ、パスの線形構造を活用する。
• 各 α ∈ IEnd(Pn) に対して、像を再インデックス化して区間構造と隣接性を保存する標準変換 β* を定義し、β* ∈ PAut(Pn) であることを証明することで、生成集合の構成を可能にする。
• IEnd(Pn) の生成集合 B = {βi | i=2,…,n−1} ∪ {τ, α1, αn} を構成する。ここで βi は頂点 i を削除する変換、τ は反転写像、α1 および αn は特定の部分置換である。
• 帰納法および合成の議論を用いて、任意の α ∈ IEnd(Pn) が B および PAut(Pn) の要素の積として表現可能であることを示し、IEnd(Pn) = ⟨B⟩ を証明する。
• ランク解析による下界の議論を用いる：n≥4 のとき、IEnd(Pn)\PAut(Pn) から少なくとも ⌈n/2⌉−1 個の生成元、PAut(Pn) から少なくとも n−1 個の生成元が必要であることを示し、生成集合の最小性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n 個の頂点を持つ有限無向パスの単射部分自己準同型のモノイド IEnd(Pn) の最小生成集合（ランク）は何か？
• RQ2 n 個の頂点を持つ有限無向パスの部分自己同型のモノイド PAut(Pn) の最小生成集合（ランク）は何か？
• RQ3 モノイド IEnd(Pn) におけるグリーン関係 L, R, H, J および逆モノイド PAut(Pn) における J は、どのように明示的に記述できるか？
• RQ4 モノイド IEnd(Pn) および PAut(Pn) の正確な濃度は何か？
• RQ5 IEnd(Pn) の最小生成集合を明示的に構成可能か？また、同型を除いて一意的か？

主な発見

• PAut(Pn) のランクは、n=1 のとき 2、n=2 のとき 2、n=3 のとき 3、n≥4 のとき n−1 である。
• IEnd(Pn) のランクは、n=1 のとき 2、n=2 のとき 2、n=3 のとき 4、n≥4 のとき n + ⌈n/2⌉ − 2 である。
• モノイド IEnd(Pn) は集合 B = {βi | i=2,…,n−1} ∪ {τ, α1, αn} で生成される。ここで βi は頂点 i を削除する変換、τ は反転写像、α1 および αn は特定の部分置換である。
• PAut(Pn) の濃度は n≥1 のとき 2n であり、パスの対称性および区間を保存する写像に基づく明示的構造を持つ。
• IEnd(Pn) の濃度は n≥2 のとき 2n + 2∑_{j=1}^{⌊(n−1)/2⌋} (n−2j−1) であり、区間分解から導かれる閉形式を持つ。
• IEnd(Pn) のグリーン関係は定義域および像の区間によって特徴づけられる：αLβ とは Im α = Im β であることを意味し、αRβ とは Dom α = Dom β であることを意味し、αHβ とは定義域および像が両方等しいことを意味する。