[論文レビュー] Partial averaging and dynamics of the dominant Hamiltonian, with applications to Arnold diffusion

V. A. Kaloshin, Ke Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ほぼ可積分なハミルトニアン系における共鳴のクラス——「支配的共鳴」と呼ばれるもの——を導入する。この共鳴では、共鳴基底に含まれる2つの明確に分離されたグループに基づいた部分系が、力学を近似可能となる。本稿は、この部分系がベクトル場および弱KAM理論の構造を正確に捉えられることを証明し、単純なアブリ・集合の幾何構造を持つ拡散経路の構築を可能にした。これは、任意の自由度を持つ凸ハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の証明に向けた重要な一歩である。

ABSTRACT

It is well known that instabilities of nearly integrable Hamiltonian systems occur around resonances. Dynamics near resonances of these systems is well approximated by the associated averaged system, called slow system. Each resonance is defined by a basis (a collection of integer vectors). We introduce a class of resonances whose basis can be divided into two well separated groups and call them dominant. We prove that the associated slow system can be well approximated by a subsystem given by one of the groups, both in the sense of the vector field and weak KAM theory. One of crucial ingredients of proving Arnold diffusion is understanding the structure of invariant (Aubry) sets of nearly integrable systems. As an important application we construct a diffusion path for a generic nearly integrable system such that invariant (Aubry) sets along this path have a simple structure similar to the structure of Aubry-Mather sets of twist maps. This is a crucial ingredient in proving Arnold diffusion for convex Hamiltonians in any number of degrees

研究の動機と目的

• 近似的に可積分なハミルトニアン系における共鳴近傍の力学を理解すること、特にアーノルド拡散との関係を明らかにすること。
• 共鳴基底が2つの明確に分離されたグループに分割されるような共鳴のクラス——支配的共鳴——を同定すること。
• このような共鳴に関連する遅い系が、1つのグループに基づく部分系によって近似可能であり、元の系のベクトル場および弱KAM理論の構造を保持することを証明すること。
• 不変集合（アブリ集合）が単純でねじれ写像に類似した構造を持つような、一般の近似的に可積分系における拡散経路を構築すること。
• 任意の自由度を持つ凸ハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の証明に向けた基盤的ステップを提供すること。

提案手法

• 共鳴基底が2つの明確に分離されたグループに分割されるという特徴を持つ支配的共鳴の概念を導入する。
• 部分平均化を適用して、元の遅い系を1つのグループに基づく部分系に簡略化し、ベクトル場構造の同等性を示す。
• 弱KAM理論を用いて、簡略化された系の不変集合（アブリ集合）が元の系のそれと一致することを示す。
• 各共鳴が支配的タイプであり、関連するアブリ集合が単純でねじれ写像に類似した幾何構造を持つような、位相空間上の拡散経路を構築する。
• 経路上でのアブリ集合の構造の単純さを活用し、凸ハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の存在を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共鳴基底が2つの明確に分離されたグループに分割される場合、近似的に可積分なハミルトニアン系の共鳴近傍の力学が、部分系に有効に簡略化可能か？
• RQ2 簡略化された部分系が、元の系のベクトル場構造および弱KAM理論の構造の本質的特徴を保持するか？
• RQ3 一般の近似的に可積分系において、不変（アブリ）集合が単純でねじれ写像に類似した構造を持つような拡散経路を構築可能か？
• RQ4 このような経路上でのアブリ集合の構造は、アーノルド拡散のメカニズムとどのように関係するか？
• RQ5 この手法は、任意の自由度を持つ凸ハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の証明に一般化可能か？

主な発見

• 支配的共鳴に関連する遅い系は、共鳴基底の2つの分離グループの1つに基づく部分系によって良好に近似可能である。
• この近似は、元の系のベクトル場構造および弱KAM理論フレームワークの両方を保持する。
• 構築された拡散経路上の不変（アブリ）集合は、ねじれ写像のアブリ＝マセール集合に類似した単純な幾何的構造を示す。
• 経路上でのアブリ集合構造の単純さは、凸ハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の証明にとって重要な要素である。
• 本手法は、任意の自由度を持つ凸近似的に可積分系に一般化可能なフレームワークを提供する。