[論文レビュー] Partial Chromatic Polynomials and Diagonally Distinct Sudoku Squares

Füsun Akman|ArXiv.org|Apr 2, 2008

graph theory and CDMA systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフの部分彩色多項式に関する新しい証明を提示する。ここで、λ色を用いて部分的かつ適切な彩色を完成させる方法の数は、t 個の事前に彩色された頂点を持つとき、次数 n−t のモニック多項式であることを示す。さらに、各行、各列、各ブロックに加え、主対角線および反対角線に対してもすべての要素が異なる n²×n² のスゥドクウ・スクエアがすべての n に対して存在することを、巡回的構成法を用いて証明する。この方法により、行、列、ブロック、対角線のすべてにおいて一意性が保証される。

ABSTRACT

Sudoku grids can be thought of as graphs where the vertices are the squares of the grid, and edges join vertices in the same row, column, or sub-grid. A Sudoku puzzle corresponds to a partial proper coloring of the Sudoku graph. We provide a new and simpler proof of the theorem which states that the number of completions of partial colorings of a graph is a polynomial in the number of colors (originally due to Herzberg and Murty). Moreover, we construct Sudoku squares of arbitrary size with distinct entries on both diagonals (a similar proof was first published by Keedwell, unknown to the author).

研究の動機と目的

• 収縮やモビウス逆転とは独立した、部分彩色多項式がモニック多項式である性質を示す代替的証明を提供すること。
• 標準的な行、列、ブロックの制約に加え、主対角線および反対角線に対してもすべての要素が異なる n²×n² のスゥドクウ・スクエアが存在することを示すこと。
• ブロックの要素に巡回的置換を適用する方法を用いて、このような対角線に異なる要素を持つスゥドクウ・スクエアを構成すること。
• 部分彩色多項式の証明における用語の明確化と、修正・洗練を通じた理解の向上。
• この構成法が、すべての正の整数 n に対して、完全な対角線の相違性を持つ有効なスゥドクウ解を生成することを確立すること。

提案手法

• 頂点を独立集合に分割する「一般彩色」の概念を用い、独立集合の数を増加させた彩色の和として部分彩色多項式を導出する。
• 完成方法の数を次のように表す：p_G,C(λ) = Σ_r=0^{n−t} m_r(G,C) ⋅ (λ−λ₀)⋯(λ−λ₀−r+1)。ここで m_r は λ₀ + r 個の集合を持つ一貫性のある一般彩色の数を表す。
• 最高次の項（r = n−t）がモニックであることを示す。これは、未彩色の各頂点が自身の独立集合を形成するためである。
• 各 (i,j)-ブロックの要素を a([r−i+j], [c+i−1]) として定義することで、対角線に異なる要素を持つスゥドクウ・スクエアを構成する。ここで [·] は n を法とする最小正の剰余を表す。
• ブロック全体にわたって行の巡回的シフトと列のオフセットを適用し、行、列、ブロックのユニークネスを保ちつつ、対角線の相違性を確保する。
• 同じ値が現れるならばインデックスが同一であることを示すことで、行、列、ブロック、および両対角線における要素の単射性を検証する。これにより相違性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフの部分的 λ-彩色を完成させる方法の数は λ の多項式であるか。もしそうならば、その次数と最高次の係数は何か？
• RQ2 標準的な行、列、ブロックの制約に加え、主対角線および反対角線に対してもすべての要素が異なる n²×n² のスゥドクウ・スクエアを構成できるか？
• RQ3 すべての n に対して、対角線の相違性を保証する体系的な構成法が存在するか？
• RQ4 本稿で提示された方法は、キーディルのものなど、以前の構成法と比較して、構造的・妥当性の観点からどのように異なるか？
• RQ5 この構成法は、スゥドクウ・グラフの彩色多項式および関連する組合せ的不変量にどのような意味を持つのか？

主な発見

• λ色を用いた部分的かつ適切な彩色の完成方法の数は、事前に彩色された頂点数 t に対して、次数 n−t のモニック多項式である。
• 部分彩色多項式は、独立集合の数を増加させた一般彩色の和として表現され、係数は一貫性のある彩色の数を数える。
• 行の巡回的シフトと列のオフセットを用いた構成法により、行、列、ブロック、および両対角線のすべての要素が相異なることが保証される。
• 主対角線では、[r−i+i] = [r′−i′+i′] ⇒ r=r′ かつ i=i′ という条件が成り立つため、相違性が保証される。これはモジュロ演算の性質による。
• 反対角線では、[r−2i] = [r′−2i′] および [−r+i] = [−r′+i′] が成り立つと、モジュロ算術の制約のもとで r=r′ かつ i=i′ が導かれる。これにより相違性が証明される。
• この構成法により、すべての正の整数 n に対して、対角線に異なる要素を持つ有効な n²×n² のスゥドクウ・スクエアが生成され、その存在が確認された。