[論文レビュー] Partial clones containing all Boolean monotone self-dual partial functions

Miguel Couceiro, Lucien Haddad+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2015

Advanced Algebra and Logic被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、すべての単調的自己双対部分関数を含む、{0,1} 上の部分クラインの区間が連続体濃度をもつことを示している。偶数の整数 k ≥ 4 で添え字づけられた部分関数の族を構成し、関係的保存性の下での閉包を分析することで、著者たちは、単調的クラインと自己双対クラインの共通部分集合を含む、相異なる部分クラインが非可算に存在することを証明し、それらの構造的多様性に関する未解決問題を解決した。

ABSTRACT

The study of partial clones on $\\mathbf{2}:=\\{0,1\\}$ was initiated by R. V. Freivald. In his fundamental paper published in 1966, Freivald showed, among other things, that the set of all monotone partial functions and the set of all self-dual partial functions are both maximal partial clones on $\\mathbf{2}$. Several papers dealing with intersections of maximal partial clones on $\\mathbf{2}$ have appeared after Freivald work. It is known that there are infinitely many partial clones that contain the set of all monotone self-dual partial functions on $\\mathbf{2}$, and the problem of describing them all was posed by some authors. In this paper we show that the set of partial clones that contain all monotone self-dual partial functions is of continuum cardinality on $\\mathbf{2}$.

研究の動機と目的

• {0,1} 上のすべての単調的自己双対部分関数を含むすべての部分クラインを特徴付けるという未解決問題を解決すること。
• 単調的クラインと自己双対クラインの共通部分集合を含む部分クラインのラティスの濃度を特定すること。
• 関係的不変量を用いて、[pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] の区間内に非可算個の相異なる部分クラインの族を構成すること。
• すべての部分クラインの集合が可算でない、すなわち連続体濃度をもつことを示すために、4以上の偶数整数の集合の冪集合との一対一対応を確立すること。

提案手法

• マルツェフの形式的記法と一点拡張を用いて、すべての射影を含み、合成について閉じた集合として部分クラインを定義する。
• 関係的保存性を用いる：関数 f が関係 ρ を保存するとは、ρ の列を含む行列の各行に f を適用した結果が ρ に属することを意味する。
• 各 k ≥ 4 が偶数であるとき、n(k)-項部分関数 g_k を構成する。その定義域は行列 M_k 及びその双対 M̄_k の各行の和集合であり、g_k は各行の型に応じて 0 または 1 を割り当てる。
• 4以上の各偶数 k に対して、関係 ρ^{n(k)} を定義する。このとき、g_k が ρ^{n(k')} を保存するのは k ≠ k' の場合に限る。これは行列の行構造と列制約を用いて達成される。
• 4以上の偶数整数の部分集合と、[pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] 内の部分クラインとの間の全単射を、t が部分集合に属さないすべての t に対して pPol(ρ^{n(t)}) の共通部分集合を取ることで確立する。
• 写像 χ(X) = ⋂_{t ∈ E≥4∖X} pPol(ρ^{n(t)}) が単射であることを証明し、これにより区間が連続体濃度をもつことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 {0,1} 上の相異なる部分クラインは、すべての単調的自己双対部分関数を含むものとしていくつ存在するか？
• RQ2 こうした部分クラインの集合は可算か、非可算か？
• RQ3 4以上の偶数整数の部分集合ごとに一意に対応する部分クラインの族を構成できるか？
• RQ4 単調的クラインと自己双対クラインを含む部分クラインを特徴づける関係的不変量は何か？
• RQ5 4以上の偶数整数の余無限集合にわたる pPol(ρ^{n(t)}) の共通部分集合は、一意な部分クラインをもたらすか？

主な発見

• {0,1} 上のすべての単調的自己双対部分関数を含む部分クラインの区間は連続体濃度をもつ。
• 4以上の各偶数整数 k ≥ 4 に対して、行列 M_k 及びその双対 M̄_k の各行の和集合を定義域とする部分関数 g_k が構成される。g_k は各部分集合上で定数となる。
• g_k が関係 ρ^{n(k')} を保存するのは k ≠ k' の場合に限る。これは重要な分離性を確立する。
• 写像 χ: P(E≥4) → [pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] で、χ(X) = ⋂_{t ∈ E≥4∖X} pPol(ρ^{n(t)}) と定義されるものについて、単射性が示された。
• P(E≥4) が連続体濃度をもつことから、区間 [pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] に対しても同様に連続体濃度をもつ。
• この構成により、すべての単調的自己双対部分関数を含む相異なる部分クラインが非可算に存在することが確認された。