[論文レビュー] Partial (Co)Actions of Multiplier Hopf Algebras: Morita and Galois Theories

Danielle Santos Azevedo, Batista, E.+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非単位元をもつ代数への乗法的ホップ代数の部分的（余）作用を導入し、コインvariant代数 $ R^{\text{co}A} $ とスモーズ積 $ R\#\widehat{A} $ の部分代数の間のモラータ・コンテキストを確立する。主な貢献は、部分的ガロア余作用の定義と、スモーズ積とコインvariantを結ぶ写像 $ \beta $ の全単射性が、モラータ・コンテキストの写像の全射性と同値であることを証明することであり、これは、グローバルなガロア理論を部分的かつ非単位元をもつ設定に一般化するものである。

ABSTRACT

In this work we deal with partial (co)action of multiplier Hopf algebras on not necessarily unital algebras. Our main goal is to construct a Morita context relating the coinvariant algebra $R^{\underline{coA}}$ with a certain subalgebra of the smash product $R\#\widehat{A}$. Besides this we present the notion of partial Galois coaction, which is closely related to this Morita context.

研究の動機と目的

• 単位元をもたない代数への部分的（余）作用の理論を、乗法的ホップ代数を用いて、単位元をもつ代数から非単位元をもつ代数へと拡張すること。
• コインvariant代数 $ R^{\text{co}A} $ とスモーズ積 $ R\#\widehat{A} $ の部分代数の間のモラータ・コンテキストを構成すること。
• 部分的ガロア余作用を定義・研究し、グローバルなガロア拡張の部分的設定への一般化とすること。
• 写像 $ \beta $ の全単射性とモラータ・コンテキストの写像の全射性との間の同値性を確立し、古典的ガロア理論を一般化すること。

提案手法

• 正則な乗法的ホップ代数 $ A $（積分をもつ）を用い、非単位元だが両側局所単位をもつ状況において、部分的 $ A $-余分離代数 $ (R, \rho, E) $ を導入する。
• スモーズ積 $ R\#\widehat{A} $ と部分代数 $ \widehat{A}\cdot R $ を定義し、モラータ・コンテキストにおいて中心的な役割を果たす。
• 次の2つの線形写像を構成する：$ [\ ,\ ]: (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to (\widehat{A}\cdot R)\#\widehat{A} $ および $ (\ ,\ ): (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to (\widehat{A}\cdot R)\otimes A $。これらがモラータ・コンテキストを形成する。
• 写像 $ \beta: (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to ((\widehat{A}\cdot R)\otimes A)E $ を $ \beta(x\otimes y) = (x\otimes 1)\rho(y) $ で定義し、これにより部分的ガロア余作用を定義する。
• 写像 $ \alpha $ を $ ((\widehat{A}\cdot R)\otimes A)E $ から $ (\widehat{A}\cdot R)\#\widehat{A} $ への逆写像とし、$ E $ の像に制限することで、$ \beta $ が全単射であることと $ [\ ,\ ] $ が全射であることの同値性を証明する。
• 積分の存在と $ A $ と $ \widehat{A} $ の双対性を用いて、写像が適切に定義され非退化していることを保証し、これによりモラータ理論およびガロア理論の枠組みを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元設定における有限双対の制限を考慮すると、非単位元をもつ代数への乗法的ホップ代数の部分的（余）作用はどのように定義できるか？
• RQ2 コインvariant代数 $ R^{\text{co}A} $ とスモーズ積 $ R\#\widehat{A} $ 内の部分代数 $ \widehat{A}\cdot R $ 間のモラータ・コンテキストの構造はどのようなものか？
• RQ3 部分的設定において、モラータ・コンテキストの写像 $ [\ ,\ ] $ と $ (\ ,\ ) $ が全単射であるための条件は何か？
• RQ4 部分的ガロア余作用の概念は、写像 $ \beta $ の全単射性とどのように関係し、グローバルなガロア理論をどのように一般化するか？
• RQ5 乗法的ホップ代数を用いることで、部分的かつ非単位元をもつ設定において、作用と余作用の双対性は保たれるか？

主な発見

• 本稿は、スモーズ積 $ R\#\widehat{A} $ 内のコインvariant代数 $ R^{\text{co}A} $ と部分代数 $ \widehat{A}\cdot R $ の間のモラータ・コンテキストを確立し、グローバルな状況を部分的かつ非単位元をもつ状況に一般化した。
• 写像 $ \beta: (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to ((\widehat{A}\cdot R)\otimes A)E $ を $ \beta(x\otimes y) = (x\otimes 1)\rho(y) $ で定義し、これが構成の中心的役割を果たす。この写像が全単射であることと、写像 $ [\ ,\ ] $ が全射であることの同値性が示された。
• $ [\ ,\ ] $ が全射であれば、右加群構造と逆写像 $ \alpha $ の存在により、その単射性も保証され、全単射であることが証明された。
• 部分的ガロア余作用は、$ \beta $ が全単射であるような対称的で部分的な $ A $-余分離代数として定義され、この条件は $ [\ ,\ ] $ の全射性と同値であり、グローバルなガロア対応の一般化である。
• $ \beta $ の全単射性、$ [\ ,\ ] $ の全射性、$ (\ ,\ ) $ の全単射性の間の同値性が確立され、部分的設定においてモラータ・コンテキストが完全に有効であることが示された。
• 正則な乗法的ホップ代数に積分をもつことにより、双対性と積分が保たれ、$ \widehat{A} $ も正則な乗法的ホップ代数であることが保証される。これにより、一般化された文脈におけるガロア理論の構築が可能になった。