[論文レビュー] Partial data inverse problems for quasilinear conductivity equations

Yavar Kian, Katya Krupchyk+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2020

Numerical methods in inverse problems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、次元 $ n \geq 2 $ の楕円型方程式における部分データ逆問題において、非線形な準線形および半線形伝導度係数の一意回復を確立する。境界の部分集合上で消失する調和関数の勾配の積に関する新規な $ L^1 $-密度結果を用いて、著者たちは、データが不完全であっても、解とその勾配に依存する伝導度が、境界の任意の開部分集合におけるディリクレ・トゥ・ノイマン写像によって一意に特定されることを証明する。

ABSTRACT

We show that the knowledge of the Dirichlet-to-Neumann maps given on an arbitrary open non-empty portion of the boundary of a smooth domain in $\mathbb{R}^n$, $n\ge 2$, for classes of semilinear and quasilinear conductivity equations, determines the nonlinear conductivities uniquely. The main ingredient in the proof is a certain $L^1$-density result involving sums of products of gradients of harmonic functions which vanish on a closed proper subset of the boundary.

研究の動機と目的

• 部分境界測定値から準線形および半線形伝導度係数を回復する逆問題に取り組む。
• 既存の伝導度逆問題の結果を、不完全データを伴う非線形的・準線形的方程式へと拡張する。
• 境界の任意の開部分集合における部分ディリクレ・トゥ・ノイマン写像から、伝導度係数 $ \gamma(x,u,\omega\cdot\nabla u) $ の一意性を確立する。
• 境界の適切な閉部分集合上で消失する調和関数の勾配の積の和の $ L^1 $-密度に関する新しい解析的道具を構築する。

提案手法

• 複素バナッハ空間における陰関数定理を用いて、小さなディリクレデータを伴う準線形方程式の解の存在および解とその勾配に関するホロモルフィック依存性を確立する。
• 定数境界値におけるディリクレ・トゥ・ノイマン写像の一次近似を用いて、非線形問題を線形逆問題に還元する。
• 境界の閉部分集合上で消失する調和関数の勾配の積の和に関する新規な $ L^1 $-密度結果を適用する。
• 伝導度係数 $ \gamma $ が解およびその勾配に関してホロモルフィックに依存することに依拠する。$ \gamma(x,\tau,0) = 1 $ および $ \gamma(x,0) = 1 $ であるため、適切に定式化される。
• ディリクレ・トゥ・ノイマン写像が境界データに関してホロモルフィックであるという事実を用いて、解析接続の議論を可能にする。
• 線形化の後に、線形逆問題の結果（例：[41], [32]）を適用し、元の伝導度を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界の任意の開部分集合における部分ディリクレ・トゥ・ノイマン写像から、準線形伝導度 $ \gamma(x,u,\omega\cdot\nabla u) $ が一意に特定可能か？
• RQ2 部分データ下でも、半線形伝導度 $ \gamma(x,u) $ に対して一意性結果が成り立つか、特に完全解析的仮定が不要であってもか？
• RQ3 解とその勾配に依存する非線形伝導度を不完全な境界測定値から回復する一般的手法は存在するか？
• RQ4 境界の適切な部分集合上で消失する調和関数の勾配積の $ L^1 $-密度が、逆問題における一意性の証明に用いられるか？

主な発見

• 部分ディリクレ・トゥ・ノイマン写像 $ \Lambda_{\gamma}^{\Gamma} $ は、$ \Gamma \subset \partial\Omega $ が境界の空でない任意の開部分集合であっても、$ \overline{\Omega} \times \mathbb{C} \times \mathbb{C} $ 内の準線形伝導度 $ \gamma(x,u,\omega\cdot\nabla u) $ を一意に特定する。
• 半線形伝導度 $ \gamma(x,u) $ に対しては、部分ディリクレ・トゥ・ノイマン写像 $ \Lambda_{\gamma}^{\Gamma} $ が $ \overline{\Omega} \times \mathbb{C} $ 内の $ \gamma $ を一意に特定する。これは、従来の全データ結果を部分データへと拡張するものである。
• 証明は、境界の閉部分集合上で消失する調和関数の勾配の積の和に関する新しい $ L^1 $-密度結果を導入しており、これが一意性の議論の根幹をなす。
• 著者たちは、$ C^{2,\alpha} $ 空間における小さなディリクレデータに対して、準線形方程式の解の存在およびホロモルフィック依存性を確立し、ディリクレ・トゥ・ノイマン写像の有効性を保証する。
• 非線形逆問題分野における文献の空白を埋めるために、特に $ x, u, \nabla u $ に依存する準線形伝導度の全データの場合でも、本結果は新規である。
• 本手法は $ n \geq 2 $ に対して適用可能であり、境界が $ C^{\infty} $、伝導度係数が $ C^{1,\alpha} $ という最小限の正則性仮定のもとで結果が成り立つ。