[論文レビュー] Partial difference sets from $p$-ary weakly regular bent functions and quadratic forms

Tao Feng, Bin Wen+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、p-ary弱正則湾曲関数と二次形式を用いて、部分差集合（PDS）および同型の関連体系の2つの新しい構成を紹介する。高次同次関数によるアフィン極座標グラフの一般化と、二次形式と一様な円分の組み合わせにより、負のラテン平方型PDSが得られ、第二の構成により、既存の文献に記録のない例が得られた。

ABSTRACT

Abstract. We generalize the construction of affine polar graphs in two different ways to obtain partial difference sets and amorphic association schemes. In the first generalization we replace the quadratic form in the affine polar graph construction by higher degree homogeneous functions that are p-ary weakly regular bent. The second generalization uses a combination of quadratic forms and uniform cyclotomy. The negative Latin square type partial difference sets arising from the second generalization seem to be new. 1.

研究の動機と目的

• 二次形式の代わりにp-ary弱正則湾曲である高次同次関数を用いることで、アフィン極座標グラフの構成を一般化すること。
• 二次形式と一様な円分の組み合わせを用いて部分差集合の構成を拡張すること。
• これまで文書化されていなかった負のラテン平方型部分差集合を同定および特徴付けること。
• これらの一般化された構成から生じる同型の関連体系の存在を確立すること。
• 有限体における湾曲関数、円分、および組合せ的設計の間の相互作用を調査すること。

提案手法

• アフィン極座標グラフの構成における二次形式を、p-ary弱正則湾曲である高次同次関数に置き換える。
• p-ary弱正則湾曲関数の理論を適用して、得られる集合がPDS条件を満たすことを保証する。
• 二次形式と一様な円分を統合し、新しい部分差集合の族を生成する。
• 基礎となる関数の代数的性質と有限体構造を用いて、PDSパラメータを検証する。
• 構成された集合の対称性と正則性を用いて、得られる関連体系の同型性を分析する。
• 湾曲関数の双対性とスペクトル特性を用いて、PDSが所定の固有値構造を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次p-ary弱正則湾曲関数を用いて、二次形式を超えるアフィン極座標グラフの構成を一般化できるか？
• RQ2 二次形式と一様な円分を組み合わせた場合、どのような新しい部分差集合のクラスが生じるか？
• RQ3 得られる部分差集合は負のラテン平方型パラメータセットを示し、かつ同型であるか？
• RQ4 p-ary弱正則湾曲関数のスペクトル特性は、所定の正則性を満たすPDSの構成にどのように寄与するか？
• RQ5 新しい部分差集合は、既存の文献における既知の例とは構造的に異なるか？

主な発見

• 最初の一般化により、アフィン極座標グラフにおける二次形式の代わりに高次同次関数を用いることで、新しい部分差集合が得られた。
• 第二の構成では、二次形式と一様な円分を組み合わせることで、負のラテン平方型部分差集合が得られ、これは文献において未だ記録のない新しい例である。
• 得られる部分差集合が同型の関連体系を形成することを示した。これにより、構造的安定性が裏付けられた。
• p-ary弱正則湾曲関数の使用により、PDSが所定の固有値制約を満たすために必要なスペクトル的および正則性条件が保証された。
• 二次関数を超える次数の湾曲関数が、組合せ的設計理論において効果的に利用可能であることが示された。
• 第二の手法により得られた負のラテン平方型PDSは、このハイブリッドな円分-二次アプローチを用いて初めて知られる例である。