[論文レビュー] Partial difference sets from quadratic forms and $p$-ary weakly regular bent functions

Tao Feng, Bin Wen+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$p$-ary弱正則バーント関数と一般化された円分法を用いて、部分差集合（PDS）および同型の関連スキームの2つの新しい構成を提案する。まず、高次同次関数としての $p$-ary弱正則バーント関数を用いてアフィン極座標グラフを拡張し、新たなネガティブラテンスクエア型PDSを導出する。次に、均一な円分法と二次形式の一般化により、明示的なパラメータを持つ新しいPDSを生成する。主な貢献は、これらのPDSから新たな同型の関連スキームを構成することにある。

ABSTRACT

We generalize the construction of affine polar graphs in two different ways to obtain new partial difference sets and amorphic association schemes. The first generalization uses a combination of quadratic forms and uniform cyclotomy. In the second generalization we replace the quadratic form in the affine polar graph construction by higher degree homogeneous functions that are $p$-ary weakly regular bent. The negative Latin square type partial difference sets arising from the first generalization are new.

研究の動機と目的

• アフィン極座標グラフの構成を、二次形式を超えて $p$-ary弱正則バーント関数を用いて一般化すること。
• 均一な円分法と高次同次関数を組み合わせることで、部分差集合の理論を拡張すること。
• これらの一般化されたPDSから新たな同型の関連スキームを構成すること。
• 得られたPDSの明示的パラメータを提示し、強く正則なカイリー・グラフ構造を検証すること。
• このフレームワークが、非二次関数を含む新たな種類のバーント関数へも適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 二次形式の代わりに $p$-ary弱正則バーント関数を用いて、古典的なアフィン極座標グラフの構成を一般化する。
• $\mathbb{F}_{p^n}$ 内のバーント関数の等値集合を用いて、$D_0, D_{\text{R}}, D_{\text{N}}$ という部分集合を定義し、これらがPDSであることを示す。
• 群環技法と特徴和の計算を用い、PDS条件を方程式 $D^2 = \gamma 1_G + (\lambda - \mu)D + \mu G$ を通じて検証する。
• ウォルシュ係数の構造と同次性条件を活用し、差分布における所定の正則性を保証する。
• [9,10] の定理3.6を用いて、3つのカイリー・グラフが同型の3クラス関連スキームを形成することを証明する。
• $p \mod 4$ に基づくケース別分析を通じて結果を検証し、$p \equiv 1 \pmod{4}$ と $p \equiv 3 \pmod{4}$ を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン極座標グラフの構成を、二次形式を超えて高次同次関数で $p$-ary弱正則バーント関数を用いて一般化できるか？
• RQ2 $\mathbb{F}_{p^n}$ 内の $p$-ary弱正則バーント関数の等値集合から生じる部分差集合のパラメータは何か？
• RQ3 これらの新しいPDSは、適切な対称性条件下で同型の関連スキームを生じるか？
• RQ4 均一な円分法と二次形式の組み合わせは、ネガティブラテンスクエア型パラメータを持つ新たなPDSを生成するか？
• RQ5 このフレームワークは、ヘレセスエスとコホローシャが構成した非二次関数に対しても適用可能か？

主な発見

• 本稿では、$({\mathbb{F}}_{p^n}, +)$ 上に、$p$-ary弱正則バーント関数の等値集合を用いて新しい部分差集合を構成し、そのパラメータは二次形式の種別（双曲型または楕円型）に依存する。
• $p \equiv 1 \pmod{4}$ の場合、集合 $D_{C_i} = \{x \in V \mid Q(x) \in C_i\}$ はパラメータ $(N^2, (N - \epsilon)R, \epsilon N + R^2 - 3\epsilon R, R^2 - \epsilon R)$ のPDSを形成する。ここで $N = q^m$, $R = f q^{m-1}$, $\epsilon = \pm 1$ である。
• $p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合、等値集合 $D_0$, $D_{\mathcal{R}}$, および $D_{\mathcal{N}}$ は $({\mathbb{F}}_{p^n}, +)$ 上にPDSであることが示され、特徴和恒等式と $\mathcal{R}$, $\mathcal{N}$ が差集合を形成する構造に基づいてパラメータが導出される。
• 3つのカイリー・グラフ ${\rm Cay}(G, D_0 \setminus \{0\})$, ${\rm Cay}(G, D_{\mathcal{R}})$, および ${\rm Cay}(G, D_{\mathcal{N}})$ は、与えられた対称性および同次性条件の下で $\mathbb{F}_{p^n}$ 上に3クラスの同型の関連スキームを形成する。
• この構成により、古典的な二次形式による構成では実現できない新たなネガティブラテンスクエア型PDSが得られる。
• このフレームワークは、ヘレセスエスとコホローシャが最近構成した非二次 $p$-ary弱正則バーント関数に対しても適用可能であり、二次形式に限定されない広範な適用可能性を示している。