[論文レビュー] Partial differential equations driven by rough paths

Michael Caruana, Peter K. Friz|ArXiv.org|Mar 14, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、弱い幾何的 $p$-粗いパスによって駆動される線形1階および2階偏微分方程式（PDE）の解の存在、一意性、連続的依存性を確立する。粗いパス理論と古典的PDE手法を組み合わせることで、ブラウン運動や自己相似指数 $H > \frac{1}{4}$ の分数カリオン運動などの不規則な信号を扱える、確立された決定論的枠組みを提供し、非退化条件のもとで解のルベーグ密度の存在を証明する。

ABSTRACT

We study a class of linear first and second order partial differential equations driven by weak geometric $p$-rough paths, and prove the existence of a unique solution for these equations. This solution depends continuously on the driving rough path. This allows a robust approach to stochastic partial differential equations. In particular, we may replace Brownian motion by more general Gaussian and Markovian noise. Support theorems and large deviation statements all became easy corollaries of the corresponding statements of the driving process. In the case of first order equations with Gaussian noise, we discuss the existence of a density with respect to the Lebesgue measure for the solution.

研究の動機と目的

• 不半マルティングループを超える不規則な信号によって駆動される線形PDEを解く決定論的で堅牢な枠組みを構築すること。
• 粗いパス理論を偏微分方程式、特に粗いパスによって係数が定義される放物型方程式に拡張すること。
• 駆動する粗いパスに関して、解の存在、一意性、連続的依存性を確立すること。
• ガウス過程およびマルコフ過程によって駆動されるSPDEのためのサポート定理および大偏差原理を一般化すること。
• 非退化ガウスノイズによって駆動される1階RPDEの解が、ルベーグ密度を有することを証明すること。

提案手法

• 弱い幾何的 $p$-粗いパスによって駆動される線形PDEのクラスを形式化し、係数が粗いパスの増分構造に依存することを明示する。
• 粗いパス理論を用いて、粗い微分方程式（RDE）に関連する流れを構築し、時系列順積分を介してPDEの解と結びつける。
• 解写像が駆動する粗いパスに関して連続であることを利用し、駆動源から解へのサポートや大偏差の性質の伝達を可能にする。
• ガウス過程（例：分数カリオン運動）の自然なリフトを用いて駆動する粗いパスを定義し、有限の $\rho$-変動性とホルダー支配制御を保証する。
• マルリャン微積分の技法とカマロン＝マーティン空間における非退化条件を用いて、解の密度の存在を証明する。
• 逆時刻の粗いパス $\overleftarrow{\mathbf{X}}^t$ を用いて非退化性を保ち、流れ写像を介して密度結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似指数 $H > \frac{1}{4}$ の分数カリオン運動のような、サンプルパスが粗い信号によって駆動される線形PDEを、堅牢に解くことは可能か？
• RQ2 粗いPDEの解写像は、駆動する粗いパスに関して連続的依存するか。これにより、SPDEの決定論的取り扱いが可能になるか？
• RQ3 ガウスノイズによって駆動される1階粗いPDEの解が、ルベーグ密度を有するのはどのような条件下か？
• RQ4 駆動する粗いパスのサポート定理および大偏差原理が、PDEの解にどのように伝播するか？
• RQ5 PDEのベクトル場が解の点において接空間を張るための条件は何か。これにより密度結果が得られるか？

主な発見

• 弱い幾何的 $p$-粗いパスによって駆動される線形1階および2階PDEの解は、存在し、一意的であり、駆動パスに関して連続的に依存する。
• この枠組みにより、ブラウン運動、マルコフ過程、自己相似指数 $H > \frac{1}{4}$ の分数カリオン運動によって駆動されるSPDEを堅牢に取り扱える。
• 解過程のサポート定理および大偏差原理は、駆動する粗いパスのそれらから直接導かれる。
• 非退化ガウスノイズによって駆動される1階RPDEに対して、任意の時刻 $t \in (0,T]$ で解がルベーグ密度を有する。
• 逆時刻の粗いパス $\overleftarrow{\mathbf{X}}^t$ は、元のパスの非退化性を保ち、流れ写像を介して密度の証明を可能にする。
• カマロン＝マーティン空間の非退化性により、解の流れが滑らかな密度を持つことが保証され、初期条件 $\phi$ を通じてRPDEの解に対してもその性質が伝播する。