[論文レビュー] Partial dynamical systems and C*-algebras generated by partial isometries

Ruy Exel, Marcelo Laca+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 126

ひとこと要約

本稿は、部分等長作用によるアーベルC*-代数の縮小交叉積として実現することにより、部分等長作用で生成されるC*-代数を統一的に分析する枠組みを確立する。この理論により、表現の忠実性、単純性、およびイデアル構造が、元の部分作用の位相的自由性と可解性に依存することを示し、部分群表現、準ラティス順序群のトーベィツ代数、およびカントツ＝クリーガー代数に応用する。

ABSTRACT

A collection of partial isometries whose range and initial projections satisfy a specified set of conditions often gives rise to a partial representation of a group. The C*-algebra generated by the partial isometries is thus a quotient of the universal C*-algebra for partial representations of the group, from which it inherits a crossed product structure, of an abelian C*-algebra by a partial action of the group. Questions of faithfulness of representations, simplicity, and ideal structure of these C*-algebras can then be addressed in a unified manner from within the theory of partial actions. We do this here, focusing on two key properties of partial dynamical systems, namely amenability and topological freeness; they are the essential ingredients of our main results in which we characterize faithful representations, simplicity and the ideal structure of crossed products. As applications we consider three situations involving C*-algebras generated by partial isometries: partial representations of groups, Toeplitz algebras of quasi-lattice ordered groups, and Cuntz-Krieger algebras. These C*-algebras share a crossed product structure which we give here explicitly and which we use to study them in terms of the underlying partial actions.

研究の動機と目的

• 部分作用を用いた部分等長作用で生成されるC*-代数の一般理論を構築すること。
• そのようなC*-代数の忠実表現、単純性、イデアル構造を、元の部分力学系の性質によって特徴づけること。
• 部分群表現、準ラティス順序群のトーベィツ代数、およびカントツ＝クリーガー代数という3つの主要なクラスに理論を応用すること。
• これらのC*-代数の明示的な交叉積実現を提供し、部分作用理論を用いた構造的解析を可能にすること。

提案手法

• 群の部分表現に対する普遍C*-代数を、群の部分作用によるアーベルC*-代数の交叉積として構成する。
• 与えられた部分等長作用の関係に基づいて、アーベルC*-代数のスペクトルを明示的に定義する。
• 局所コンパクトハウスドルフ空間上の部分作用における位相的自由性を導入・分析し、縮小交叉積におけるイデアルとアーベル代数の交わりが非自明であることを示す。
• 部分作用が位相的に自由で、近似性質を持つ場合、交叉積のイデアルと不変イデアルの間の一対一対応を確立する。
• 近似性質を用いて可解性を保証し、フル交叉積と縮小交叉積が等しくなることを示す。
• 適切な空間上での明示的部部分作用を構成することにより、3つの具体的なケース（部分群表現、一般化されたトーベィツ代数、カントツ＝クリーガー代数）にこの枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分等長作用で生成されるC*-代数の表現が忠実であるのはいつか？
• RQ2 部分作用がどのような条件下で関連する交叉積を単純にするか？
• RQ3 交叉積内のイデアルは、元の力学系における不変イデアルとどのように関係するか？
• RQ4 縮小交叉積とフル交叉積が一致するのはどのような条件か？
• RQ5 カントツ＝クリーガーの独自性定理は、部分作用の一般原理からどのように導かれるか？

主な発見

• 部分作用が位相的に自由である場合、C*-代数の縮小交叉積の表現が忠実であるための必要十分条件は、アーベルC*-代数上で忠実であることである。
• 部分作用が位相的に自由で、近似性質を満たす場合、縮小交叉積は単純である。
• 閉じた不変部分集合上で、近似性質と位相的自由性を持つ部分作用に対して、交叉積内のイデアルと不変イデアルの間に一対一対応が存在する。
• 離散群による部分表現から誘導される標準的部部分作用が位相的に自由であるための必要十分条件は、群が無限大であることである。
• 準ラティス順序群のトーベィツC*-代数は、位相的に自由な部分作用による交叉積と同型であり、したがって表現が忠実であるための必要十分条件は、対角部分上で忠実であることである。
• Cuntz-Krieger代数 $\mathcal{O}_A$ は、$n$ 個の生成元からなる自由群の部分作用による交叉積と同型であり、CuntzとKriegerの条件 (I) は、部分作用の位相的自由性に同値であり、これにより忠実性の基準を用いてCuntz-Krieger独自性定理が導かれる。