[論文レビュー] Partial-isometric crossed products by semigroups of endomorphisms

Janny Lindiarni, Iain Raeburn|ArXiv.org|Oct 23, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、全順序半群がC*-代数に作用する場合の部分等長的交差積を導入し、ヒルベルト双加群の積系に対するトレーラス代数の取り扱いやすい族を提供する。交差積 $\mathbf{c}_0 \times_\sigma \mathbb{N}$ が、$\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ 上の連続関数のC*-代数に値をとるToeplitz代数 $\mathcal{T}(\mathbb{Z})$ に同型であることが示され、境界値が定数となることが明らかになり、$C(\mathbb{T})$ 商と $C_0(\mathbb{N}, \mathcal{K})$ 核を有する豊かな正確構造が明らかになる。

ABSTRACT

Let $Γ^+$ be the positive cone in a totally ordered abelian group $Γ$, and let $α$ be an action of $Γ^+$ by endomorphisms of a $C^*$-algebra $A$. We consider a new kind of crossed-product $C^*$-algebra $A imes_αΓ^+$, which is generated by a faithful copy of $A$ and a representation of $Γ^+$ as partial isometries. We claim that these crossed products provide a rich and tractable family of Toeplitz algebras for product systems of Hilbert bimodules, as recently studied by Fowler, and we illustrate this by proving detailed structure theorems for actions by forward and backward shifts.

研究の動機と目的

• 全順序半群作用下でのC*-代数の自己準同型を部分等長で表現することにより、新たな交差積C*-代数のクラスを構築すること。
• 特定の系（例：$\mathbf{c}_0 \times_\sigma^\text{iso} \mathbb{N} = \{0\}$）においては等長的交差積が0に収縮してしまうという限界を克服し、部分等長を用いることで忠実な表現を保持すること。
• これらの部分等長的交差積が、特に自己準同型作用の文脈において、ヒルベルト双加群のToeplitz代数の明示的かつ取り扱いやすいモデルであることを示すこと。
• 前向きおよび後ろ向きのシフト作用（$\mathbf{c}_0$ および $B_{\mathbb{N}}$ 上）のような特定の作用に対して、正確な系列および部分商を同定することにより、詳細な構造定理を提供すること。

提案手法

• 本稿は、$A$ の忠実なコピーと、$\Gamma^+$ が部分等長として表現され、自己準同型 $\alpha_s$ と整合性関係を満たすような普遍的交差積 $A \times_\alpha \Gamma^+$ を構成する。
• ヒルベルト双加群および積系の理論を用い、Fowlerの結果を応用して、普遍表現が忠実である条件を同定する。
• $\mathbf{c}_0$ 上の $\mathbb{N}$ の作用 $\sigma$ に対して、単一のシフト $T$ と減少する射影列 $Q_m$ を用いて、$C_b(\mathbb{N}, B(\ell^2(\mathbb{N})))$ への明示的表現 $\pi_{F,Q} \times F$ を構成する。
• 主な技術的道具は、交差積の像を $\mathcal{B} = \{ f \in C(\mathbb{N} \cup \{\infty\}, \mathcal{T}(\mathbb{Z})) : \psi_T(f(n)) \text{ が定数} \}$ と同定することであり、ここで $\psi_T$ は $\mathcal{T}(\mathbb{Z})$ 上のトレースである。
• すべての $m$ に対して $Q_m \neq Q_{m+1}$ であるという条件を用いて、表現の忠実性を証明する。これにより、$(V^*H)^\perp$ における関連表現が忠実であることが保証される。
• 像代数をコンact値関数の核と $C(\mathbb{T})$ に同型な商に分解することにより、正確な系列 $0 \to C_0(\mathbb{N}, \mathcal{K}) \to \mathbf{c}_0 \times_\sigma \mathbb{N} \to C(\mathbb{T}) \to 0$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分等長的交差積は、C*-代数の自己準同型から生じるヒルベルト双加群のToeplitz代数に対して、忠実かつ取り扱いやすいモデルを提供できるか？
• RQ2 等長的交差積はなぜ特定の系（例：$\mathbf{c}_0 \times_\sigma^\text{iso} \mathbb{N}$）において非自明な構造を捉えられず、部分等長がこの問題を解消できるか？
• RQ3 $\mathbf{c}_0$ 上の $\mathbb{N}$ の左移動作用に対する部分等長的交差積 $\mathbf{c}_0 \times_\sigma \mathbb{N}$ の正確な構造は何か？
• RQ4 普遍表現の像 $\mathbf{c}_0 \times_\sigma \mathbb{N}$ は、$\mathcal{T}(\mathbb{Z})$ に値をとる連続関数の具体的な $C^*$-代数としてどのように特徴付けられるか？
• RQ5 部分等長的交差積 $\mathbf{c}_0 \times_\sigma \mathbb{N}$ の背後にある正確な系列構造は何か？また、部分商は $\mathcal{K}$ や $C(\mathbb{T})$ のような既知の $C^*$-代数とどのように関係するか？

主な発見

• 部分等長的交差積 $\mathbf{c}_0 \times_\sigma \mathbb{N}$ は、$\psi_T$ を $\mathcal{T}(\mathbb{Z})$ 上のトレースとする $C^*$-代数 $\mathcal{B} = \{ f \in C(\mathbb{N} \cup \{\infty\}, \mathcal{T}(\mathbb{Z})) : \psi_T(f(n)) \text{ が定数} \}$ に同型である。
• $\pi_{F,Q} \times F$ の表現は、すべての $m \geq 0$ に対して $Q_m \neq Q_{m+1}$ であることから忠実であり、これにより還元可能なコーナー $(V^*H)^\perp$ 上での忠実性が保証される。
• 交差積は、$C_0(\mathbb{N}, \mathcal{K}(\ell^2(\mathbb{N}))) \to \mathbf{c}_0 \times_\sigma \mathbb{N} \to C(\mathbb{T}) \to 0$ の形の標準的正確系列を有する。核は無限遠で消えるコンパクト値関数から成り、商は $C(\mathbb{T})$ に同型である。
• 生成子 $k_{\mathbb{N}}(i)^* k_{\mathbf{c}}(1_m) k_{\mathbb{N}}(j)$ の表現における像は、$n \to \infty$ で点単位収束し、十分大きな $n$ に対して $i,j$ に依存しない極限に収束する。これにより、$\mathcal{B}$ 上の境界条件が保証される。
• $C_0(\mathbb{N}, \mathcal{K})$ は、行列単位 $e_{ij}^m$ の閉包として像に含まれる。これらは生成子の差から生じ、核構造を確認する。
• 定数関数（$C^*(F)$ に対応）は像に含まれており、$f - g$ がコンパクト値関数かつ無限遠で消えることから、全代数 $\mathcal{B}$ は核と定数関数の和として回復される。