[論文レビュー] Partial model categories and their simplicial nerves

Clark Barwick, D Kan|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、2つ抜き6の性質と3矢印計算を備えた相対圏としての部分モデル圏を導入し、その単体的ホモトピー型がReedy fibrant置換を経て完全セガール空間を与えることを確立する。逆に、任意の完全セガール空間は、単体的集合の図式圏のホモトピー的に全な部分圏の単体的ホモトピー型とReedy同値である。

ABSTRACT

In this note we consider partial model categories, by which we mean relative categories that satisfy a weakened version of the model category axioms involving only the weak equivalences. More precisely, a partial model category will be a relative category that has the two out of six property and admits a 3-arrow calculus. We then show that Charles Rezk's result that the simplicial space obtained from a simplicial model category by taking a Reedy fibrant replacement of its simplicial nerve is a complete Segal space also holds for these partial model categories. We also note that conversely every complete Segal space is Reedy equivalent to the simplicial nerve of a partial model category and in fact of a homotopically full subcategory of a category of diagrams of simplicial sets.

研究の動機と目的

• 部分モデル圏を、2つ抜き6の性質と3矢印計算を備えた相対圏として形式化・研究すること。
• チャールズ・レーツの結果を一般化し、単体的モデル圏の単体的ホモトピー型のReedy fibrant置換が完全セガール空間を与えるという事実を、部分モデル圏のより広いクラスに拡張すること。
• 任意の完全セガール空間が、部分モデル圏の単体的ホモトピー型とReedy同値であることを示すこと。
• 相対的サブ圏に対してホモトピー的に全な条件を確立し、部分モデル構造を保存すること。
• 単体的集合の図式圏を用いて完全セガール空間をモデル化する相対的ヤオダ埋め込みの構成を提供すること。

提案手法

• 部分モデル圏を、2つ抜き6の性質を満たし、3矢印計算を許容する相対圏 $(\boldsymbol{C}, \boldsymbol{U})$ として定義する。
• 部分モデル圏に対して単体的ホモトピー型を定義する。
• 単体的ホモトピー型にReedy fibrant置換を適用し、完全セガール空間を導出する。
• ホモトピー圏 $L^H(\boldsymbol{C}^{\text{op}}, \boldsymbol{U}^{\text{op}})$ を用いて相対的ヤオダ埋め込み $y: (\boldsymbol{C}, \boldsymbol{U}) \to (\boldsymbol{S}^{\boldsymbol{C}^{\text{op}}, \boldsymbol{U}^{\text{op}}}, \tilde{\boldsymbol{U}})$ を構成する。
• DK同値を介して分解し、単体的ヤオダ埋め込みの性質を用いてヤオダ埋め込みの全忠実性を証明する。
• 写像 $e: (\boldsymbol{C}, \boldsymbol{U}) \to Ef$ が本質的に全射的かつ全忠実的であることを示し、完全セガール空間の相対的モデル化を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レーツの結果（単体的モデル圏の単体的ホモトピー型のReedy fibrant置換が完全セガール空間を与える）は、完全モデル圏を超えて部分モデル圏へ一般化可能か？
• RQ2 相対圏において、その単体的ホモトピー型がReedy fibrant置換を経て完全セガール空間になるための構造的条件は何か？
• RQ3 任意の完全セガール空間は、部分モデル圏の単体的ホモトピー型とReedy同値か？
• RQ4 3矢印計算は、相対圏における関手複体のホモトピー型を制御するために果たす役割は何か？
• RQ5 相対的ヤオダ埋め込みは、単体的集合の図式圏を用いて完全セガール空間をどのようにモデル化できるか？

主な発見

• 部分モデル圏の単体的ホモトピー型のReedy fibrant置換は完全セガール空間であり、レーツの結果を一般化する。
• 任意の完全セガール空間は、単体的集合の図式圏のホモトピー的に全な部分圏の単体的ホモトピー型とReedy同値である。
• 相対的ヤオダ埋め込み $y: (\boldsymbol{C}, \boldsymbol{U}) \to (\boldsymbol{S}^{\boldsymbol{C}^{\text{op}}, \boldsymbol{U}^{\text{op}}}, \tilde{\boldsymbol{U}})$ は、部分モデル圏に制限した場合に全忠実的である。
• 写像 $e: (\boldsymbol{C}, \boldsymbol{U}) \to Ef$ は本質的に全射的かつ全忠実的であり、完全セガール空間の相対的モデル化を確立する。
• 構成はDK同値と単体的ヤオダ埋め込みに依拠しており、fibrant置換の下でもホモトピー型が保存されることを保証する。
• 3矢印計算により、部分モデル圏における関手複体が3矢印のジグザグ経路によって単純に記述可能となり、ホモトピー型の計算が容易になる。