[論文レビュー] Partial monoids: associativity and confluence

Laurent Poinsot, Gérard Duchamp+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2010

semigroups and automata theory参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、部分モノイドにおける結合律と関連する文字列還元系におけるコンフラuent性の正確な対応関係を確立する。左標準還元戦略を導入して一意な正規形を保証し、その正規形上に誘導される乗法が、かつてその還元系がコンフラuentであるときに限り結合的であることを証明する。これにより、代数的結合律と計算的コンフラuent性が結びつけられる。

ABSTRACT

A partial monoid $P$ is a set with a partial multiplication $ imes$ (and total identity $1_P$) which satisfies some associativity axiom. The partial monoid $P$ may be embedded in a free monoid $P^*$ and the product $\star$ is simulated by a string rewriting system on $P^*$ that consists in evaluating the concatenation of two letters as a product in $P$, when it is defined, and a letter $1_P$ as the empty word $ε$. In this paper we study the profound relations between confluence for such a system and associativity of the multiplication. Moreover we develop a reduction strategy to ensure confluence and which allows us to define a multiplication on normal forms associative up to a given congruence of $P^*$. Finally we show that this operation is associative if, and only if, the rewriting system under consideration is confluent.

研究の動機と目的

• 部分モノイドにおける結合律とそれに関連する文字列還元系におけるコンフラuent性の深い関係を調査すること。
• 元の還元系がコンフラuentでない場合でも一意な正規形を保証する還元戦略を開発すること。
• 正規形上に定義される全二項演算が、モノイド合同関係に関して結合的であることを定義すること。
• この演算が、かつてその基礎となる還元系がコンフラuentであるときに限り結合的であることを証明すること。
• 定義された積のみが評価され、エラーが計算不能な部分項として分離される、エラーを伴う逐次プログラムの計算モデルを提供すること。

提案手法

• プログラムを語としてモデル化するため、部分モノイド $P$ を自由モノイド $P^*$ に埋め込む。
• 定義された積 $x \times y$ を単一の文字に評価し、単位元 $1_P$ を $\epsilon$ に還元する文字列還元系 $R$ を $P^*$ 上で定義する。
• 左側の定義済み積の還元を優先することで、一意な正規形を保証する左標準還元戦略を導入する。
• 不可約語からなるマグマ $({\mathsf{Irr}}(P), \star)$ を構成し、項を正規形演算に写像する評価準同型を定義する。
• 二番目の還元系 $\Rightarrow_{\mathsf{Ass}}$ を用いて結合的移動をシミュレートする。これはモノイド圏における五角形恒等式をモデルにしている。
• 臨界対の分析を通じて還元系 $R$ のコンフラuent性を証明し、それらの収束が $\star$ の結合律と同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分モノイドに関連する文字列還元系がコンフラuentである条件は何か？
• RQ2 還元系がコンフラuentでない場合でも、$P^*$ の語に対して一意な正規形を一貫して定義できるか？
• RQ3 正規形上に定義された二項演算 $\star$ が、かつてその還元系がコンフラuentであるときに限り結合的であるか？
• RQ4 還元系における臨界対の構造は、部分モノイドにおける結合律の違反とどのように関係するか？
• RQ5 部分モノイドにおける代数的結合律の概念は、その関連する還元系のコンフラuent性を通じて、どの程度特徴づけられるか？

主な発見

• 正規形上の演算 $\star$ が結合的であることは、かつて文字列還元系 $R$ がコンフラuentであることに同値である。
• 左標準還元戦略により、$R$ がコンフラuentでない場合でも、すべての語が一意な正規形を持つことが保証される。
• $R$ のコンフラuent性は、結合律の違反に対応するタイプ(A0)の臨界対が存在しないことに同値である。
• 評価準同型 $\mathsf{ev}$ は $\Rightarrow_{\mathsf{Ass}}^*$ における同値性を保存する。つまり、異なる括弧の付け方であっても、Thue合同関係に関して等価な結果が得られる。
• $R$ がコンフラuentであるとき、正規形の集合 $\mathsf{Irr}(P)$ は $P^* / \Leftrightarrow_R^*$ に同型であり、カテゴリー的同値性が確立される。
• この構成は、モノイド圏の整合性定理を一般化し、括弧の移動系を用いて結合的性質をシミュレートする。