[論文レビュー] Partial Probability and Kleene Logic

Maurizio Negri|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2013

Advanced Algebra and Logic参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、価値付きラティスとDMF代数を用いて、集合論的および言語的確率のアプローチを統一し、クライーンの三値論理における部分的確率を導入する。イベントベースと論理式ベースの確率の間の翻訳を確立し、部分的イベントにおけるベイズの定理の弱い形を証明し、不完全な情報下での不確実性の推論の代数的基盤を提供する。

ABSTRACT

There are two main approach to probability, one of set-theoretic character where probability is the measure of a set, and another one of linguistic character where probability is the degree of confidence in a proposition. In this work we give an unified algebraic treatment of these approaches through the concept of valued lattice, obtaining as a by-product a translation between them. Then we introduce the concept of partial valuation for DMF-algebras (De Morgan algebras with a single fixed point for negation), giving an algebraic setting for probability of partial events. We introduce the concept of partial probability for propositions, substituting classical logic with Kleene's logic. In this case too we give a translation between set-theoretic and linguistic probability. Finally, we introduce the concept of conditional partial probability and prove a weak form of Bayes's Theorem.

研究の動機と目的

• 価値付きラティスに基づく代数的構造を通じて、古典的および言語的確率のアプローチを統一すること。
• 否定の固定点が1つのデ・モーガン代数（DMF代数）を用いて、部分的イベントへの確率論の拡張を図ること。
• クライーンの三値論理に置き換える部分的確率の形式的枠組みを構築すること。
• 古典的および部分的設定の両方において、イベントベースと論理式ベースの確率の間の双方向翻訳を確立すること。
• 条件付き部分的確率を形式化し、部分的イベントにおけるベイズの定理の弱い形を証明すること。

提案手法

• 確率の一般的代数的枠組みとして価値付きラティスを用い、$ v(a \vee b) = v(a) + v(b) - v(a \wedge b) $ を満たす値付けを定義する。
• ブール代数上の加法的関数としてのブール値付けを定義し、$ v(1) = 1 $ および $ v(a \wedge b) = 0 \Rightarrow v(a \vee b) = v(a) + v(b) $ を満たす。
• DMF代数上の部分的値付けを導入し、要素に $ (x,y) \in [0,1]^2 $ を割り当て、クライーン論理の結合子と整合する操作を定義する。
• 自由DMF代数からイベント代数への準同型を介して、$ \mathcal{G}_A $ の部分的イベントから文言言語の論理式への翻訳を構成する。
• クライーン論理に基づく公理を満たす部分的確率関数 $ \pi: F \to [0,1]^2 $ を定義し、特に $ \pi(\neg \alpha) = \sigma(\pi(\alpha)) $ を満たす。ここで $ \sigma(x,y) = (y,x) $ である。
• 表現定理を適用して、部分的確率関数 $ \pi(\alpha) = \overline{v}(|\alpha|) $ を構成する。ここで $ \overline{v} $ は、部分的イベント上の測度 $ \mu $ から導かれる部分的値付けである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合論的および言語的確率のアプローチを、価値付きラティスを用いて代数的に統一することは可能か？
• RQ2 部分的イベントを扱う適切な論理的枠組みは何か。また、古典的論理とはどのように異なるか？
• RQ3 部分的イベント上の確率測度を、多値論理における論理式上の確率関数に翻訳することは可能か？
• RQ4 部分的確率の代数的構造は何か。また、古典的確率論にどのように拡張されるか？
• RQ5 提案された枠組み下で、部分的イベントに対するベイズの定理の弱い形は成立するか？

主な発見

• クライーン論理における論理式上の部分的確率関数 $ \pi $ は、文言言語のリンデンバウム代数上の値付け $ \overline{v} $ を通じて定義され、古典的確率を一般化する公理を満たす。
• 部分的イベント $ (X,Y) \in \mathcal{G}_A $ から論理式 $ \alpha \in \overline{\tau}(X,Y) $ への翻訳により、$ \mu(X,Y) = \pi(\alpha) $ が保証され、一対多対応が確立される。
• 論文は、$ \pi(\alpha \vee \beta) = \pi(\alpha) + \pi(\beta) - \pi(\alpha \wedge \beta) $ が成り立つことを証明し、部分的設定下でも確率のモジュラー性が保たれることを示す。
• また、$ \pi(\neg \alpha) = \sigma(\pi(\alpha)) $、ここで $ \sigma(x,y) = (y,x) $ であることが確立され、クライーン論理の双対性が反映されている。
• 条件付き部分的確率に対して、ベイズの定理の弱い形が導出され、古典的ベイズ的推論が不完全または中間の真偽値に拡張されている。
• $ \overline{v} = \mu \circ \eta $ の構成、ここで $ \eta $ は自由DMF代数からイベント代数への準同型である。これにより、部分的確率関数が測度 $ \mu $ と整合し、適切に定義されていることが保証される。