[論文レビュー] Partial-realization theory and algorithms for linear switched systems: A formal power series approach

Mihály Petreczky, Jan H. van Schuppen|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 47被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有理形式的冪級数を用いた線形スイッチドシステム（LSS）の部分実現理論およびアルゴリズムを開発する。2つのアルゴリズム—ヘンケル行列の列抽出および行列因子分解に基づくもの—を提案し、これらは最小部分実現を計算する。ヘンケル行列のランクが安定化する際に完全な最小実現に収束する。

ABSTRACT

The paper presents partial-realization theory and realization algorithms for linear switched systems. Linear switched systems are a particular subclass of hybrid systems. We formulate a notion of a partial realization and we present conditions for existence of a minimal partial realization. We propose two partial-realization algorithms and we show that under certain conditions they yield a complete realization. Our main tool is the theory of rational formal power series.

研究の動機と目的

• 線形スイッチドシステム（LSS）の形式的部分実現理論を構築し、古典的実現理論をハイブリッドシステムへと拡張する。
• 限られた入出力データからの最小LSSモデル同定という課題に取り組み、システム同定およびモデル還元に有効である。
• 有理形式的冪級数理論が、LSSの実現アルゴリズムを導出する強固な枠組みを提供することを示す。
• 特に、ガード付き分(piecewise-affine)システムを含むより広範なハイブリッドシステムクラスへの部分実現理論の拡張の基盤を築く。
• 理論的枠組みと実用的アルゴリズム設計の橋渡しを果たし、特にLSSにおける部分空間同定に類似した手法の開発を支援する。

提案手法

• LSSの入出力挙動を、LSSとそれに対応する形式的冪級数族との間の対応を活用して、有理形式的冪級数の族として定式化する。
• 入出力写像のヘンケル行列を、対応する形式的冪級数族のヘンケル行列として定義する。
• アルゴリズム1を提案し、ヘンケル行列の有限部分行列からの列選択によって部分実現を構築する。
• アルゴリズム2を提案し、有限ヘンケル部分行列の因子分解を通じて部分実現を計算し、アルゴリズム1と同型となるように保証する。
• 有限ヘンケル部分行列（H_{Φ,N,N}、H_{Φ,N+1,N}、H_{Φ,N,N+1}）のランクの安定化を、完全な最小実現への収束の停止基準として用いる。
• 形式的冪級数の理論的結果を活用し、部分実現が最小かつ完全である条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた線形スイッチドシステムに対して、最小部分実現が存在する条件は何か？
• RQ2 有理形式的冪級数の構造を用いて、LSSの部分実現の構成的アルゴリズムを導出可能か？
• RQ3 有限ヘンケル部分行列のランクをどのように用いることで、部分実現が完全な最小実現に移行するかを特定できるか？
• RQ4 提案された形式的冪級数フレームワークを、例えばガード付き分(piecewise-affine)システムを含むより一般的なハイブリッドシステムへどの程度拡張可能か？
• RQ5 一般化されたマークフパラメータとLSSの実現との関係は何か？ また、データからそれらをどのように推定できるか？

主な発見

• 同一の入出力データに適用した場合、提案された部分実現アルゴリズム（アルゴリズム1およびアルゴリズム2）は同型な最小実現をもたらす。
• 有限ヘンケル部分行列のランクが安定化する場合、すなわち rank(H_{Φ,N,N}) = rank(H_{Φ,N+1,N}) = rank(H_{Φ,N,N+1}) である場合、入出力挙動の最小完全実現が得られる。
• 任意の N に対して、N+1 が入出力写像の潜在的最小実現の次元と等しい場合、アルゴリズムは最小LSS実現を返す。
• 有理形式的冪級数理論は、LSSの部分実現結果を導出する包括的枠組みを提供し、ハイブリッドシステムの他のクラスに対しても潜在的に適用可能である。
• モーメントマッチングによるモデル還元へも応用可能であり、有限個の一般化マークフパラメータの部分実現として低次のLSSを構築できる。
• このフレームワークは、LSSの空間の幾何学的・位相的解析を可能とし、距離計測やパrametric同定ツールの開発を支援する。