[論文レビュー] Partial transposition of random states and non-centered semicircular distributions

Guillaume Aubrun|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 24被引用数 43

ひとこと要約

本稿は、量子状態を部分的トレースによってモデル化する大規模なランダム・ワイシャルト行列の部分的転置が、次元 $d \to \infty$ のとき非中心化された半円分布に分布収束することを確立している。主な結果はパrameter $\alpha = 4$ における鋭い相転移である：アタッチメント次元が $\alpha d^2$ のとき、$\alpha > 4$ であればランダムに生成された状態は通常PPT（部分的転置が正定値）であり、$\alpha < 4$ であれば通常非PPTである。これは量子もつれ検出における中心的問題を解決する。

ABSTRACT

Let W be a Wishart random matrix of size d^2 times d^2, considered as a block matrix with d times d blocks. Let Y be the matrix obtained by transposing each block of W. We prove that the empirical eigenvalue distribution of Y approaches a non-centered semicircular distribution when d tends to infinity. We also show the convergence of extreme eigenvalues towards the edge of the expected spectrum. The proofs are based on the moments method. This matrix model is relevant to Quantum Information Theory and corresponds to the partial transposition of a random induced state. A natural question is: "When does a random state have a positive partial transpose (PPT)?". We answer this question and exhibit a strong threshold when the parameter from the Wishart distribution equals 4. When d gets large, a random state on C^d tensor C^d obtained after partial tracing a random pure state over some ancilla of dimension alpha.d^2 is typically PPT when alpha&gt;4 and typically non-PPT when alpha&lt;4.

研究の動機と目的

• 高次元量子系における部分的転置を施したランダム・ワイシャルト行列の固有値分布を分析すること。
• ランダムに生成された量子状態が通常PPTから通常非PPTに移行する閾値パrameter $\alpha$ を特定すること。
• モーメント法を用いて固有値分布の収束を非中心化半円分布に確立すること。
• ランダム行列理論と量子情報理論、特にもつれのPPT基準との関連を構築すること。
• 極値固有値およびスペクトル端の厳密な漸近的結果を提供すること。

提案手法

• 部分的転置を施したワイシャルト行列の極限スペクトル分布を分析するためにモーメント法を用いる。
• モーメントの漸近的挙動を計算するために非交差分割の組合せ論を適用する。
• サイズ $d \times d$ のブロック構造を活用して、$d^2 \times d^2$ 行列におけるブロック転置行列のモーメント推定を導出する。
• 経験的固有値分布が明示的な分散とシフトを持つ非中心化半円分布に収束することに依拠する。
• モーメントに基づく推定とスペクトル端の収束を用いて極値固有値を分析する。
• 部分的トレース後のインダクティブ状態とワイシャルト行列の対応関係を用いて、結果を量子情報に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム・ワイシャルト行列の部分的転置の極限スペクトル分布は、$d \to \infty$ のときどのように振る舞うか？
• RQ2 アタッチメント対システム比 $\alpha = p/d^2$ がどの値で、ランダムに生成されたインダクティブ量子状態のPPT性質が相転移を示すか？
• RQ3 部分的転置を施したワイシャルト行列の極値固有値は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ4 この非標準的な行列モデルにおいて、モーメント法を用いて非中心化半円分布への収束を証明できるか？
• RQ5 部分的転置を施した後も、$d^2 \times d^2$ のワイシャルト行列が正定値である確率の漸近的確率は何か？

主な発見

• 部分的転置を施したワイシャルト行列の経験的固有値分布は、$d \to \infty$ のとき弱収束して非中心化半円分布に近づく。
• 部分的転置の完全正定値でない性質に起因し、極限分布には非ゼロの中心（シフト）が存在する。
• $\alpha = 4$ で鋭い相転移が発生する：$\alpha > 4$ であればランダムに生成された状態は通常PPTであり、$\alpha < 4$ であれば通常非PPTである。
• 部分的転置を施した行列の極値固有値は、ほとんど確実に極限半円スペクトルの端に収束する。
• $d^2 \times d^2$ のワイシャルト行列が部分的転置を施しても正定値である確率は、ある $c > 0$ に対して $\exp(-cd^4)$ 以下に減少する。これは大偏差スケーリングを示唆する。
• この結果はŽnidaričたちは数値的に観察した挙動を確認し、ランダム量子状態におけるPPT閾値の厳密な基礎を提供する。