[論文レビュー] Partial weight one modularity for Galois representations associated to mod $p$ Hilbert modular forms

Hanneke Wiersema|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2026

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ひとこと要約

論文は、総実体拡張体上の irreducible mod p ガロア表現に対して、 irregular partial weight one Hilbert modular forms に対するモジュラリティが、Hodge–Tate 重みを規定する結晶的リフトの存在と同値であることを、仮説的および技術的仮定の下で示す。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. Let $ρ: G_F o \mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ be a Galois representation of a totally real field $F$. For a small partial weight one weight $(k,0)$, we prove that modularity of $ρ$ can be characterised using $p$-adic Hodge theory, as conjectured by Diamond and Sasaki. We show that if $ρ$ is modular with respect to a partial weight one mod $p$ Hilbert modular form, then each of its local representations has a crystalline lift with prescribed Hodge--Tate weights. Conversely, if for each $v|p$ the restriction $ρ|_{G_{F_v}}$ has a crystalline lift with certain irregular weights, we show that $ρ$ arises from a partial weight one Hilbert modular form. Our method consists of translating results from regular to irregular weights. We do this globally, relating modularity of regular weights to modularity of irregular weights and vice versa, and also use the local, $p$-adic Hodge theory analogue of this, which is recent work of the author.

研究の動機と目的

• partial weight one の状況における mod p ガロア表現のモジュラリティ基準を動機づける。
• p-adic Hodge 理論と結びつけて幾何的モジュラリティを p 以上の場所での結晶リフトに結びつけ、モジュラリティを特徴づける。
• Hilbert modular の設定で regular から irregular weights への Diamond–Sasaki 型の weight 転送を拡張する。

提案手法

• 部分 Hasse 不変量と部分 Theta 演算子を含む weight shifting ツールを用いて結果を regular から irregular weights に翻訳する。
• 不規則重の形に対する regular-weight 相当体を構築して、グローバルかつ局所的にモジュラリティ情報を転送する。
• irregular weights の幾何的モジュラリティを、 explicit な weight 変換を通じて regular weights のモジュラリティと関連づける。
• 局所的な p-adic Hodge 理論を用いて irregular weights の結晶リフト可能性を対応する regular weights のそれと同一視する。
• Gee–Liu–Savitt の結果を用いて結晶リフト可能性と代数的モジュラリティを結びつけ、さらに幾何的モジュラリティへ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 irreducible な mod p ガロア表現が partial weight one Hilbert modular form から生じるのはいつか。
• RQ2 prescribed Hodge–Tate weights を持つ結晶リフトは irregular weights のモジュラリティを Diamond–Sasaki によって予想されるように特徴づけるか。
• RQ3 Hasse 不変量と Theta 演算子を用いて irregular weights と regular weights の間でモジュラリティを転送できるか。
• RQ4 irregular weights における幾何的モジュラリティが他の関連 weights のモジュラリティを導く追加条件は何か。
• RQ5 p の各場所における local–global の整合性原理はこの設定で結晶リフト可能性をどのように支配するか。

主な発見

• ρ が irreducible で partial weight one mod p Hilbert modular form に対してモジュラリティを持つ場合、各局所表現 ρ|GFv は規定重を持つ結晶リフトを持つ。
• 逆に、各 v|p に対して restriction ρ|GFv が特定の irregular weights を持つ結晶リフトを持つなら、ρ は partial weight one Hilbert modular form によって生じる。
• 正則重から irregular weights へのモジュラリティ命題を部分 Hasse 不変量と部分 Theta 演算子を用いて転送する。
• Buzzard–Diamond–Jarvis の予想および regular weights の代数的モジュラリティと幾何的モジュラリティの同値性を仮定すると、 irregular weight の幾何的モジュラリティは全ての v|p に対する結晶リフトの存在と同値である。
• 結晶リフト可能性 ⇔ 代数的モジュラリティ ⇔ regular weights の幾何的モジュラリティ の連鎖を構築し、それが irregular weight の幾何的モジュラリティを導く。
• 結果は Diamond–Sasaki の partial weight one モジュラリティをより広い設定（ totally real F、 F で p が非分岐、 p 奇）へ拡張する。