[論文レビュー] Partiality, Revisited: The Partiality Monad as a Quotient Inductive-Inductive Type

Thorsten Altenkirch, Nils Anders Danielsson+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、可算選択を仮定せずに部分的計算をモデル化できる、商帰納的帰納的型（QIIT）に基づく部分性モナドを導入する。これは、Caprettaの遅延モナドの主要な制限を解消する。弱双模倣を高階帰納的帰納的構成により直接等価として組み込むことで、構成的で商に基づく部分性モナドを達成し、可算選択を仮定すると商のとれた遅延モナドと同等である。

ABSTRACT

Capretta's delay monad can be used to model partial computations, but it has the "wrong" notion of built-in equality, strong bisimilarity. An alternative is to quotient the delay monad by the "right" notion of equality, weak bisimilarity. However, recent work by Chapman et al. suggests that it is impossible to define a monad structure on the resulting construction in common forms of type theory without assuming (instances of) the axiom of countable choice. Using an idea from homotopy type theory - a higher inductive-inductive type - we construct a partiality monad without relying on countable choice. We prove that, in the presence of countable choice, our partiality monad is equivalent to the delay monad quotiented by weak bisimilarity. Furthermore we outline several applications.

研究の動機と目的

• 可算選択を仮定せずに、弱双模倣を等価として正しくモデル化する部分性モナドを構築すること。
• 集合体に基づく商化と「集合体の地獄」を回避する型理論の制限を克服すること。
• それ以外の点で可算選択が必要となる商のとれた遅延モナドの構成的代替案を提供すること。
• 依存型理論において、正しい等価性と情報隠蔽を伴って非終了プログラムの記述を可能にすること。
• 型理論における構成的ドメイン理論と操作的意味論の基盤を築くこと。

提案手法

• 弱双模倣関係（等価関係）を同時に定義する高階帰納的帰納的型（HIIT）を構築する。
• 商帰納的帰納的型（QIIT）構造を用いて、弱双模倣をモナド内の定義的等価として内蔵化する。
• コインダクティブなコンストラクターを用いてモナドを定義する：'now' は即時の結果、'later' は遅延計算を表す。
• すべての操作が弱双模倣を構成的に尊重することを保証し、明示的な証明義務を回避する。
• ホモトピー型理論の技術を活用して、商化を型定義に直接埋め込み、外部の商化メカニズムに依存しない。
• 可算選択を仮定すると、得られたモナドが商のとれた遅延モナドと同等であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算選択を仮定せずに、弱双模倣の計算を正しく識別する型理論における部分性モナドを構築できるか？
• RQ2 弱双模倣による遅延モナドの商にモナド構造を定義できるか、可算選択を仮定しないで？
• RQ3 商帰納的帰納的型を用いて、等価性を内蔵化し、構成的型理論における「集合体の地獄」を回避できるか？
• RQ4 提案されたモナドは、標準的な遅延モナドとその商のとれた変種と比べて、等価性と計算的挙動においてどのように異なるか？
• RQ5 この構成は、依存型理論における構成的ドメイン理論と操作的意味論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 提案された部分性モナドは、可算選択を必要としない商帰納的帰納的型として構築された。
• 可算選択を仮定すると、このモナドは商のとれた遅延モナドと同等であることが示され、正しさが裏付けられた。
• 構成が自然に弱双模倣を等価としてサポートするため、元の遅延モナドの内挿的問題が解消された。
• 等価性を型構造に埋め込むことで「集合体の地獄」を回避し、情報隠蔽とモジュラー推論を可能にした。
• 標準的な構成的設定では計算不能となるが、商のとれた実数上の連続関数（例：'isPositive'）の定義が可能になった。
• この方法により、定義的インタプリタ、型安全性の証明、コンパイラ正当性の結果が構成的設定で構築可能になった。