[論文レビュー] Partialization of categories and inverse braid-permutation monoid

Ganna Kudryavtseva, Volodymyr Mazorchuk|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2006

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モノイドの単射に対して引き戻しを備えた小さな圏から逆モノイドを体系的に生成するための圏論的構成として、部分化ファンクターを導入する。このファンクターを用いて、新しい逆ブレード・置換モノイドを定義し、その表示を与えるとともに、その反復を調べることで、順序を保つ写像のモノイドの圏論的一般化および対称逆モノイドの正規化一般化を導く。

ABSTRACT

We show how the categorial approach to inverse monoids can be described as a certain endofunctor (which we call the partialization functor) of some category. In this paper we show that this functor can be used to obtain several recently defined inverse monoids, and use it to define a new object, which we call the inverse braid-permutation monoid. A presentation for this monoid is obtained. Finally, we study some abstract properties of the partialization functor and its iterations. This leads to a categorification of a monoid of all order preserving maps, and series of orthodox generalizations of the symmetric inverse semigroup.

研究の動機と目的

• 関手的.partializationプロセスを通じて、逆モノイドの圏論的構成を形式化すること。
• 逆ブレードモノイドの一般化として、新しい逆モノイド、すなわち逆ブレード・置換モノイドを定義し、その解析を行うこと。
• 部分化ファンクターの反復と、正規および orthodox な半群との関係を調べること。
• 端点を固定する鎖上の順序を保つ写像のモノイドの圏論的一般化を提供すること。
• 部分化ファンクターの反復的適用を通じて、対称逆モノイドを一般化すること。

提案手法

• 条件1を満たす小さな圏に対して、モノイドの引き戻しが存在することを保証する部分化ファンクター 𝒫 を定義する。
• 引き戻しを用いて射を部分写像に拡張することで、射集合を豊かにした新たな圏として、圏の部分化を構成する。
• 穴あき平面の圏に部分化ファンクターを適用し、自己準同型モノイドとして逆ブレードモノイドを回復する。
• ブレード・置換群の運動圏に一般化して、逆ブレード・置換モノイド 𝒊𝑩𝑷𝒏 を定義する。
• ブレードおよび置換関係に基づく生成子と関係式を用いて、𝒊𝑩𝑷𝒏 に対する有限表示を導出する。
• 部分化ファンクターの反復を検討し、𝒫ⁿ と準反復の間の自然変換を含め、正規および orthodox な半群との関係を調べる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分化ファンクターは、圏的データから逆モノイドを体系的に構成するためにどのように適用可能か？
• RQ2 逆ブレード・置換モノイドの構造と表示は、逆ブレードモノイドの一般化としてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 部分化ファンクターの反復は、orthodox および regular な半群とどのように関係するか？
• RQ4 部分化ファンクターは、鎖上の順序を保つ写像のモノイドの圏論的一般化をどのように導くか？
• RQ5 逆ブレード・置換モノイドのグリーンの関係および冪等元構造はどのようなものか？

主な発見

• 逆ブレード・置換モノイド 𝒊𝑩𝑷𝒏 は、ℝ³ 内の n 個の結びのない、分離した、向き付けられた曲線の圏の部分化の自己準同型モノイドとして定義される。
• 生成子がブレードおよび置換関係に対応し、部分性を記述する関係を含む有限表示が得られる。
• モノイド 𝒊𝑩𝑷𝒏 は分解可能であり、E(𝒊𝑩𝑷𝒏) = (k+1)^n であり、その冪等元は {1,…,n} の部分集合のフラッグによってパrameter化される。
• 𝒊𝑩𝑷𝒏 内の元のグリーンの ℒ-類はフラッグ (A₁,…,Aₖ) によって決定され、ℛ-類は単射 f の像によって決定される。
• 部分化ファンクター 𝒫ⁿ が適切な圏上の自己関手であることが示され、その反復は自然変換を介して結びつけられる。
• 有限集合の圏に 𝒫ⁿ を適用することで、端点を固定する鎖上の順序を保つ写像のモノイドの圏論的一般化が得られる。