[論文レビュー] Partially Dominated Splittings

Luciana Salgado|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなリーマン多様体上の $C^1$ フローに対して、部分的に支配された分解（partially dominated splitting）の概念を導入し、フロー $X_t$ が特異点のないコンパクトな不変集合 $\Lambda$ 上で部分的に支配された分解を持つための必要十分条件として、関連する線形ポアンカーフローが法束 $\mathcal{N}^X$ 上で支配された分解を持つことであることを確立している。この結果により、双曲性と線形ポアンカーフローの分解の間の同値性が、部分的双曲性のより広い設定へと拡張される。

ABSTRACT

We propose a weak form of domination, called partially dominated splitting and the main result is that there is a partially dominated splitting over a nonsingular compact invariant set for a flow if, and only if, the associated linear Poincare flow has a dominated splitting

研究の動機と目的

• 線形ポアンカーフローの支配的分解が元のフローに対応する分解をもたらす条件を理解するというギャップを埋める。特に、非双曲的状況においてそのような条件を特定すること。
• フローの接束に一様な収縮・拡張性がない場合に、線形ポアンカーフローから支配的性質を元のフローに持ち上げる困難を解決すること。
• 中心方向が一様に収縮も拡張もしない状況を許容するように、支配的性質の概念を一般化するため、部分的に支配された分解という新しい概念を導入すること。
• 特異点のないコンパクトな不変集合 $\Lambda$ 上での部分的に支配された分解の存在について、線形ポアンカーフローの観点から必要十分条件を確立すること。
• 線形ポアンカーフローの形式を用いて、既知の双曲性およびロバストなトランジティビティに関する結果を、部分的双曲性の設定へと拡張すること。

提案手法

• コンパクトな不変集合 $\Lambda$ 上でのフロー $X_t$ に対して、連続的かつ $DX_t$-不変な分解 $T_\Lambda M = E \oplus F \oplus \langle X \rangle$ を定義し、部分的に支配された分解という新しい概念を導入する。この分解には、部分束間における特定の支配的条件が課される。
• 法束 $\mathcal{N}^X = T_\Lambda M / \langle X \rangle$ への直交射影 $\Pi$ を用いて、線形ポアンカーフロー $P_t^X = \Pi \circ DX_t$ を定義し、動的力学を法方向へ簡約する。
• 商空間 $\mathcal{N}^X$ 上の錐場を用いて、線形ポアンカーフローから得られる支配的性質を接束へと持ち上げる。これにより、フローの微分下での強い支配的性質を保証する。
• ニューハウスの錐場に関する結果のフロー版を活用し、線形ポアンカーフローが $N^- \oplus N^+$ のような支配的分解を持つならば、$DX_t$ が $T_\Lambda M \setminus \langle X \rangle$ 内のこれらの錐の持ち上げに対して強い支配的性質を示すことを示す。
• 元の分解構造を回復するため、$DX_t$-不変な部分束 $A_\Lambda = N^-_\Lambda + \langle X \rangle$ と $B_\Lambda = \langle X \rangle + N^-_\Lambda$ を構成し、フローの微分下での不変性を検証する。
• 線形ポアンカーフローの支配的条件が、持ち上げられた錐場によって $T_\Lambda M$ の連続的かつ $DX_t$-不変な分解が正しく定義されることを示すことにより、フローにおける部分的に支配された分解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形ポアンカーフローの支配的分解が、元の $C^1$ フローに対しても支配的分解をもたらす条件は何か？
• RQ2 フローの接束の分解に、収縮も拡張もしない中心方向を含む状況において、支配的性質の概念を拡張することは可能か？
• RQ3 特異点のないフローに対して、法束 $\mathcal{N}^X$ 上の支配的分解を、全接束 $T\Lambda M$ へと一意的に持ち上げる方法は存在するか？
• RQ4 フローおよびその線形ポアンカーフローにどのような構造的条件が課されると、部分的に支配された分解が存在するか？
• RQ5 フロー方向 $\langle X \rangle$ が、商空間から全接空間への支配的性質の持ち上げにどのように影響を与えるか？

主な発見

• コンパクトなリーマン多様体上の $C^1$ フロー $X_t$ が、特異点のないコンパクトな不変集合 $\Lambda$ 上で部分的に支配された分解を持つための必要十分条件は、関連する線形ポアンカーフローが法束 $\mathcal{N}^X$ 上で支配的分解を持つことである。
• 線形ポアンカーフローに支配的分解が存在することは、$DX_t$-不変で連続な分解 $T_\Lambda M = \widetilde{E} \oplus \langle X \rangle \oplus \widetilde{F}$ の存在を保証する。ここで $\widetilde{E}$ と $\widetilde{F}$ は部分束であり、$DX_t$ がそれらの間で強い支配的性質を示す。
• 法束 $\mathcal{N}^X$ 上に構築された錐場により、線形ポアンカーフローからの支配的性質を全フローへと持ち上げることができ、連続性および $DX_t$ 下での不変性が保たれる。
• $A_\Lambda = N^-_\Lambda + \langle X \rangle$ と $B_\Lambda = \langle X \rangle + N^-_\Lambda$ は $DX_t$-不変であることが示され、持ち上げられた分解が正しく定義されておりフローの力学と整合していることが確認された。
• 証明は、フロー方向 $\langle X(x) \rangle$ が不変錐場 $C^+_n(x)$ に含まれないという事実に依存しており、これにより特異点が回避され、錐場の議論が正当化される。
• 本結果により、古典的な双曲性と線形ポアンカーフローの双曲性の同値性が、部分的双曲性の設定へと一般化され、部分的に支配された分解の存在についての必要十分条件が得られた。