[論文レビュー] Partially hyperbolic diffeomorphisms with uniformly center foliation: the quotient dynamics

Doris Bohnet, Christian Bonatti|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、中心foliationが一様にコンパクトである部分的双曲的微分同相写像が動的整合性を有することを確立し、中心葉の空間上の誘導された商動力学がシャドウング性を示すことを見出している。さらに、商系の鎖的再帰集合において周期的中心葉が稠密であることを証明し、一意的積分可能性の欠如にもかかわらず、ある種の位相的双曲的性質が存在することを示している。

ABSTRACT

We show that a partially hyperbolic $C^1$ -diffeomorphism $f : M o M$ with a uniformly compact $f$ -invariant center foliation $F^c$ is dynamically coherent. Further, the induced homeomorphism $F : M/F^c o M/F^c$ on the quotient space of the center foliation has the shadowing property, i.e. for every $\varepsilon> 0$ there exists $δ> 0$ such that every $δ$-pseudo orbit of center leaves is $\varepsilon$-shadowed by an orbit of center leaves. Although the shadowing orbit is not necessarily unique, we prove the density of periodic center leaves inside the chain recurrent set of the quotient dynamics. Some other interesting properties of the quotient dynamics are discussed.

研究の動機と目的

• 一様にコンパクトで f-不変な中心foliationを有する部分的双曲的微分同相写像の動的整合性を確立すること。
• 中心foliationによって誘導される商空間 M/ℱᶜ の位相的動力学を分析すること。
• 商動力学がシャドウング性や周期軌道の稠密性といった双曲的性質を示すかどうかを調査すること。
• 強いコンパクト性仮定の下で中心foliationの一意的積分可能性が可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 微小な C¹-摂動において中心foliationの構造的安定性を保証するため、プレート拡張性条件の使用。
• 商空間における中心葉の擬軌道に対してシャドウング補題の適用。
• アンオソフ写像の周期的点を用いた擬軌道の構成により、商空間における安定・不安定多様体の一意性の欠如を示す。
• Hausdorff距離を用いて M/ℱᶜ に商位相を定義し、商空間のコンパクト性を保証する。
• 商空間における軌道の漸近的挙動の分析により、正負の軌道が同じ安定・不安定多様体に属さないまま収束する可能性を示す。
• Epshteyn (1976) の有限ホロノミー群に関する結果を活用し、一様にコンパクトなfoliationの定義と商の正則性の保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様にコンパクトな中心foliationを有する部分的双曲的微分同相写像は、必然的に動的整合性を有するか？
• RQ2 商空間 M/ℱᶜ における中心葉の擬軌道に対して、商動力学はシャドウング性を満たすか？
• RQ3 商系の鎖的再帰集合において、周期的中心葉は稠密か？
• RQ4 同じ中心バンドルに対して、一様コンパクト性の下で異なる不変中心foliationが存在しうるか？
• RQ5 一意的積分可能性の欠如にもかかわらず、商動力学はどの程度双曲的挙動を保持するか？

主な発見

• 中心foliationが一様にコンパクトで f-不変である限り、微分同相写像は動的整合性を有する。
• 商空間 M/ℱᶜ に誘導される自己写像 F はシャドウング性を満たす：任意の δ-擬軌道は、ある真の軌道によって ε-シャドウングされる。
• 周期的中心葉は、シャドウング軌道が一意的でない場合でも、商動力学の鎖的再帰集合において稠密である。
• ある種の例では、中心葉の軌道が商空間内で正負両方で漸近的接近するが、それらが同じ安定・不安定多様体に属さないことがあり、これは標準的な双曲的特徴付けの破綻を示唆する。
• Hausdorff距離を用いることで、商空間 M/ℱᶜ はコンパクトな距離空間となる。これにより、商動力学の位相的正則性が保証される。
• 本稿は、中心foliationの一意的積分可能性の問題を未解決のままとして残しており、強いコンパクト性仮定のもとでも複数の異なるfoliationが存在しうることを示唆している。