[論文レビュー] Partially superintegrable systems on Poisson manifolds

A. Kurov, G. Sardanashvily|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 34被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック超可積分系における制限的なコランク条件（m = 2n − k）を緩和するために、Mishchenko–Fomenkoの作用角座標に関する定理を、ポアソン多様体上の部分的超可積分系へ一般化する。そのために、元の条件 m = 2n − k を、r がポアソン構造のランクであるときの k + m = r に置き換える。このアプローチにより、可換的部分的可積分系を介して、一般化された作用角座標をポアソン多様体へ拡張し、トーラス的シリンダーに微分同相である不変部分多様体の上での弱い正則性条件のもとで、このような座標の存在を証明する。

ABSTRACT

Superintegrable systems on a symplectic manifold conventionally are considered. However, their definition implies a rather restrictive condition 2n=k+m where 2n is a dimension of a symplectic manifold, k is a dimension of a pointwise Lie algebra of a superintegrable system, and m is its corank. To solve this problem, we aim to consider partially superintegrable systems on Poisson manifolds where k+m is the rank of a compatible Poisson structure. The according extensions of the Mishchenko-Fomenko theorem on generalized action-angle coordinates is formulated.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体上の超可積分系における制限的なコランク条件 m = 2n − k を克服すること。これは、可換的部分的可積分系を除外するものである。
• 作用角座標に関するMishchenko–Fomenkoの定理を、ポアソン多様体上の部分的超可積分系へ一般化すること。
• 可積分性条件を、ポアソン構造のランク r に言い換えること。これにより、関係式 k + m = r における次元 2n を r に置き換える。
• 可換的部分的可積分系への還元を介して、ポアソン多様体上の部分的超可積分系に対して、一般化された作用角座標の存在を確立すること。

提案手法

• k が独立な生成関数の数、m がコランク、r がポアソンベクトル場のランクであるとき、k + m = r を満たすことで、ポアソン多様体上での部分的超可積分系を定義する。
• ポアソン多様体のシンプレクティック葉に沿った分解を用い、問題をシンプレクティック葉上の可換的部分的可積分系へ還元する。
• シンプレクティック葉構造を介して、ポアソン多様体へPoincaré–Lyapounov–Nekhoroshevの定理を拡張することで、一般化された作用角座標を構成する。
• 不変部分多様体がトーラス的シリンダー R^{m−r} × T^r に微分同相であることを証明する。これはシンプレクティック理論におけるトーラスの場合を一般化する。
• ポアソン作用にモーメント写像形式を適用し、等変モーメント写像を用いて、ポアソン構造と整合性を持つように保証する。
• ポアソン構造とそのシンプレクティック葉の間の同型写像 w♯_F: T^*F → T F を、ポアソンテンソルによって誘導されるバンドル同型を介して、ポアソン構造とそのシンプレクティック葉の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、シンプレクティック多様体上での制限的なコランク条件 m = 2n − k を回避するように、超可積分系の定義をポアソン多様体へ一般化できるか？
• RQ2 部分的超可積分系のポアソン多様体上におけるMishchenko–Fomenko定理の正しい一般化は何か？
• RQ3 可換的部分的可積分系が、非可換な場合の一般化された作用角座標の構成の基盤として機能できるか？
• RQ4 ポアソン構造のランク r が、部分的超可積分系の可積分性条件 k + m = r において、次元 2n をどのように置き換えるか？
• RQ5 シンプレクティック葉とその葉上に誘導されるシンプレクティック形式 Ω_F は、作用角変数を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、ポアソン多様体上の部分的超可積分系が k + m = r を満たすことを確立し、シンプレクティック理論における制限的な m = 2n − k 条件を、ポアソン構造のランク r に置き換えることを示した。
• ポアソン多様体上の部分的超可積分系に対して、一般化された作用角座標が存在することを示し、シンプレクティック設定を超えてMishchenko–Fomenkoの定理を拡張した。
• 証明は、シンプレクティック葉を介して、可換的部分的可積分系に対する一般化されたPoincaré–Lyapounov–Nekhoroshev定理に還元される。
• 部分的超可積分系の不変部分多様体は、トーラス的シリンダー R^{m−r} × T^r に微分同相である。これはトーラスの場合を一般化する。
• ポアソン作用に対するモーメント写像 bJ は、リー・ポアソン構造を備えたリー余代数 g* へのポアソン準同型写像である。これにより、ポアソン構造と整合性が保証される。
• ポアソン多様体のシンプレクティック葉は、各葉上にシンプレクティック形式 Ω_F を誘導し、ポアソンテンソル w はバンドル同型写像 w♯_F: T^*F → T F を誘導する。この同型写像は、一般化された作用角座標を構成する上で不可欠である。