[論文レビュー] Particle-Hole Symmetry and the Fractional Quantum Hall States at 5/2 Filling Factor

Jian Yang|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Quantum and electron transport phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ラウフリン状態に作用することで新しい分数量子ホール波動関数を生成する導関数作用素 $ D_m $ を提案し、$ \nu = 1/(m_L - m) $ の状態を導出する。$ 5/2 $ 填充因子の候補として $ \Psi_{3,5} $ と $ \Psi_{1,3} $ を特定し、$ \Psi_{1,3} $ は正確な粒子-ホール対称性を示し、$ \Psi_{3,5} $ はモア-リード・パフィアン状態の粒子-ホール共役と非常に高い重なりを示す。

ABSTRACT

We propose a derivative operator formed as a function of derivatives of the electron coordinates. When the derivative operator is applied to the Laughlin wave function, two new wave functions in the lowest Landau level at filling factor 1/2 are generated. For systems of 4, 6, and 8 electrons in spherical geometry, it is shown that the first wave function has nearly unity overlap with the particle-hole conjugate of the Moore-Read Pfaffian wave function, therefore together with the Moore-Read Pfaffian state forms a particle-hole conjugate pair. The second wave function has essentially perfect particle-hole symmetry itself, with a positive parity when the number of electron pairs N/2 is an even integer and and a negative parity when N/2 is an odd integer. An equivalent form suggests the first wave function forms a f-wave pairing of composite fermions, and the second wave function forms a p-wave pairing. The corresponding Non-Abelian statistics quasiparticle wave functions are also proposed.

研究の動機と目的

• 5/2 分数量子ホール効果における粒子-ホール対称性のパラドックスを解消すること。ここではモア-リード・パフィアン状態は粒子-ホール対称性を欠くが、クーロンハミルトニアンはそれらを不変に保つ。
• 内在的に粒子-ホール対称性を持つ波動関数を構築し、正確な不圧縮基底状態と高い重なりを持つこと。
• 導関数に基づく作用素形式を用いて、5/2状態における非アーベル的励起子の統計的性質を微視的に記述すること。
• ラウフリン状態の準粒子空間の適用範囲を $ 2/5 $ 填充因子を超えて $ 1/2 $ 填充因子まで拡張し、$ 5/2 $ 填充因子を含むこと。

提案手法

• 導関数作用素 $ D_m = \mathrm{Pf}\left( \frac{1}{(\partial_{z_i} - \partial_{z_j})^m} \right) \prod_{i<j} (\partial_{z_i} - \partial_{z_j})^m $ を定義し、ラウフリン波動関数 $ \Phi_{m_L} $ に作用させることで、新たな状態 $ \Psi_{m,m_L} $ を生成する。
• 球面幾何学において作用素を適用し、磁束量子数 $ N_\phi $ と電子数 $ N $ の関係 $ N_\phi = (m_L - m)N + (2m - m_L) $ を得る。これにより、$ \Psi_{3,5} $ では $ N_\phi = 2N+1 $、$ \Psi_{1,3} $ では $ N_\phi = 2N-1 $ が得られる。
• 球面幾何学における正確な対角化を用い、$ \Psi_{1,3} $ とその粒子-ホール共役 $ \Psi_{1,3}^{PH} $ 間の重なりを計算し、パリティと正確な基底状態との重なりを評価する。
• 最低ランダウ準位への射影を用いて $ \Psi_{3,5} $ と $ \Psi_{1,3} $ の同等形式を導出し、それぞれ複合フェルミオンの $ f $-波および $ p $-波対合作用を明らかにする。
• 座標 $ \xi_a $ の挿入を用いてパフィアン構造を変更することで、非アーベル的励起子および準粒子波動関数を構築し、モア-リード・パフィアン構成を一般化する。
• $ \Psi_{m,m_L} $ がラウフリン状態の準粒子空間に含まれることを示し、その有効性を $ 1/2 $ 填充因子まで拡張することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内在的に粒子-ホール対称性を持ち、正確な $ 5/2 $ 基底状態と高い重なりを持つ波動関数を構築可能か？
• RQ2 $ \Psi_{1,3} $ 状態は正確な粒子-ホール対称性を示すか？また、$ N/2 $ の関数としてのパリティ行動は？
• RQ3 $ \Psi_{3,5} $ 状態はモア-リード・パフィアン状態およびその粒子-ホール共役とどのように関係するか？
• RQ4 導関数作用素 $ D_m $ は、複合フェルミオンの $ f $-波および $ p $-波対合作用を記述する状態を生成可能か？
• RQ5 ラウフリン状態の準粒子空間は、5/2状態を記述する上で果たす役割は何か？また、$ 2/5 $ 填充因子を超えて有効か？

主な発見

• 波動関数 $ \Psi_{1,3} $ は $ N/2 $ が奇数のときパリティ $ -1 $、偶数のとき $ +1 $ を示し、$ \Psi_{1,3} = (-1)^{N/2} \Psi_{1,3}^{PH} $ を満たす。これは正確な粒子-ホール対称性を示す。
• $ N = 6 $ のとき、$ \Psi_{1,3} $ とその粒子-ホール共役 $ \Psi_{1,3}^{PH} $ 間の重なりは $ 0.9991 $、$ N = 8 $ のとき $ 0.9798 $ であり、高い対称性と一貫性を確認する。
• $ \Psi_{3,5} $ は球面幾何学において $ N = 4, 6, 8 $ のとき、モア-リード・パフィアン状態の粒子-ホール共役とほぼ単位の重なり（$ \sim 0.999 $）を示す。
• 等価形式 $ \Psi_{3,5} = P_{LLL} \mathrm{Pf}\left( \frac{1}{(u_i^*v_j^* - u_j^*v_i^*)^3} \right) \prod_{i<j} |u_i v_j - u_j v_i|^6 \Phi_2 $ を用いることで、複合フェルミオンの $ f $-波対合作用が明らかになる。
• 等価形式 $ \Psi_{1,3} = P_{LLL} \mathrm{Pf}\left( \frac{1}{u_i^*v_j^* - u_j^*v_i^*} \right) \prod_{i<j} |u_i v_j - u_j v_i|^2 \Phi_2 $ を用いることで、複合フェルミオンの $ p $-波対合作用が明らかになる。
• 非アーベル的励起子波動関数は $ \mathrm{Pf}\left( \frac{\prod_a (z_i - \xi_a) \prod_b (z_j - \xi_b) + (i \leftrightarrow j)}{(\partial_{z_i} - \partial_{z_j})^m} \right) $ を用いて構築され、励起子電荷は $ -1/(2(m_L - m)) $、統計は $ 1/(2(m_L - m)) $ である。