[論文レビュー] Particle Motion with Hořava -- Lifshitz type Dispersion Relations

S. Kalyana Rama|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2009

Solar and Space Plasma Dynamics被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、超ハミルトニアン形式を用いて、ホーラヴァ＝リフシッツ型分散関係下での粒子運動を研究し、修正された非等方的スケーリングが超光速を引き起こすことを示している。定常電場中での荷電粒子は無限に加速し、ブラックホールの事象の地平線に近づく粒子は座標時間で有限時間に到達し、その速度は発散する。これは一般相対性理論とは著しく対照的である。

ABSTRACT

Using super Hamiltonian formalism, we study the motion of particles whose dispersion relations are modified to incorporate Hořava -- Lifshitz type anisotropic scaling symmetry. We find the following as consequences of this modified dispersion relation: (i) The speed of a charged particle under a constant electric field grows without bound and diverges. (ii) The speed of a particle falling towards the horizon also grows without bound and diverges as the particle approaches the horizon. (iii) This particle reaches the horizon in a finite coordinate time, in contrast to the standard case where it requires infinite time.

研究の動機と目的

• ホーラヴァ＝リフシッツ型非等方的スケーリング対称性が、修正された分散関係を通じて粒子運動に与える影響を調査すること。
• このような修正された分散関係が、特に定常電場および重力場における粒子運動に及ぼす影響を分析すること。
• このような粒子がブラックホールの事象の地平線に有限座標時間で到達するかどうか、およびその近傍で局所的に測定された速度が発散するかどうかを特定すること。
• ホーラヴァ重力理論におけるブラックホール形成および因果構造に、超光速挙動が与える影響を検討すること。
• 一般化された分散関係下での非測地的運動を扱うための形式的枠組み—超ハミルトニアン形式—を確立すること。

提案手法

• 文献[7]の超ハミルトニアン形式を採用し、ハミルトニアン ${\cal H}(p_\mu, x^\nu)$ から直接ラグランジアンを経由せずに運動方程式を導出する。
• 分散関係 $E^2 - (c^2p^2 + \alpha(p^2)^z) = m^2c^4$ を用いて、ホーラヴァ＝リフシッツの非等方的スケーリング対称性を組み込む。ここで $z > 1$ である。
• 運動方程式を $dx^\mu/d\lambda = \partial{\cal H}/\partial p_\mu$ および $dp_\mu/d\lambda = -\partial{\cal H}/\partial x^\mu$ として導出し、軌道に沿って ${\cal H} = \text{constant}$ が保たれることを保証する。
• 2つの状況にこの形式を適用する：(1) 定常電場中での荷電粒子、(2) 事象の地平線を持つ重力場中での粒子。
• 局所観測者による測定を用いて粒子の速度を計算し、標準相対論的力学と比較する。
• 最近の研究[13,14]との整合性を確認しており、幾何光学極限においてWKB法およびラグランジアン法により同様のハミルトニアンが導出されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホーラヴァ＝リフシッツ型非等方的スケーリング対称性が、定常電場中での荷電粒子の運動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 $z > 1$ の非等方的スケーリングにより分散関係が修正された場合、ブラックホールの事象の地平線に近づく粒子の速度はどのように変化するか？
• RQ3 このような修正された分散関係を持つ粒子が、有限座標時間でブラックホールの事象の地平線に到達するか？ 一般相対性理論とはどのように異なるか？
• RQ4 超ハミルトニアン形式は、一般化された分散関係下での非測地的運動を一貫して記述できるか？
• RQ5 地平線付近での超光速挙動が、ホーラヴァ重力理論におけるブラックホール形成および因果構造に与える影響は何か？

主な発見

• 定常電場中では、$z > 1$ の分散関係により、荷電粒子の速度は高運動量領域で無限に増大し、発散する。
• 重力場中でブラックホールの事象の地平線に落下する粒子について、局所的に測定された速度は地平線に近づくにつれて発散する。これは標準相対論的速度制限に反する。
• 速度が発散しても、粒子は座標時間で有限時間に地平線に到達する。これは一般相対性理論における無限時間の要請とは著しく対照的である。
• 修正された分散関係は測地的運動を破り、真空中の重力場でも粒子が時空の測地線をたどらないことを意味する。
• 超ハミルトニアン形式は、非標準的運動を的確に捉え、WKB法およびラグランジアン法による独立的導出と整合する結果を再現している。
• これらの結果は、物質の高エネルギー極限での状態方程式 $p = \frac{z}{d}\rho$ が修正されている場合、ホーラヴァ重力理論におけるブラックホール形成が変化する可能性があることを示唆している。