[論文レビュー] Particle Ordering in Zero Range Process : Exact spatial correlations of the corresponding exclusion models

Urna Basu, P. K. Mohanty|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ゼロレンジプロセス（ZRP）に写像された1次元排他過程における正確な空間相関を計算するための行列積表現を導入する。この方法では、ZRPの1ボックス重みf(n)にのみ依存する行列を用いる。この手法により、従来は解析的に扱えなかった相関関数を計算可能とし、既知の結果を再現するとともに、EKLSやRASEPなどのモデルにおける新たな相関関係を明らかにする。

ABSTRACT

A one dimensional exclusion process is introduced where particles hop to a neighbouring vacant site with a rate that depends on the size of the block they belong to. This model is equivalent to a zero range process (ZRP) and shares the same steady state distribution. However positional ordering is lost in this mapping and spatial correlations which depend on position indices can not be calculated directly from the ZRP equivalence. We devise a method to calculate these correlations and illustrate it by reproducing certain known results. Unexplored correlations in some other model systems are also investigated. This method can be generically used to find exact correlations of one dimensional exclusion processes which has ZRP correspondence.

研究の動機と目的

• ZRPへの写像によって生じる位置情報の喪失のため、ZRP重みからの直接計算が困難な排他過程における空間相関を計算する課題に対処すること。
• 対応するZRPの1ボックス重みf(n)のみに依存する一般化されたフレームワークを構築し、排他過程の定常状態重みを行列積形式で表現すること。
• ZRPに対応する一般的な1次元排他モデルに適用可能な体系的な手法を提供し、動的特徴に依存する代数的制約を持つ標準的行列積アンザッツ（MPA）の制限を克服すること。
• EKLSやRASEPなどのモデルにおいて、従来未調査であった相関関数を計算し、数値シミュレーションと照合することで、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 排他過程の定常状態重みを非可換行列の積のトレースとして書き直す：$ P(σ) = \mathrm{Tr}[X_{s_1} X_{s_2} \cdots X_{s_L}] $、ここで$ X_0 = E $、$ X_1 = D $。
• 行列$ E = |\alpha\rangle\langle\beta| $ と $ D $ を構築し、$ \langle\beta|D^n|\alpha\rangle = f(n) $ となるようにする。ここで$ f(n) $は対応するZRPの1ボックス重みである。
• 生成関数$ F(w) = \sum_{n=0}^\infty f(n) w^n $ を用いて行列要素を定義し、ポochhammer記号と指数積分を用いて相関関数の解析的計算を可能にする。
• グランドカノニカル集合において2点相関関数$ G^{(2)}_j(z) $ を$ z = -\ln G^{(2)}_1 $ を用いて導出し、$ G^{(2)}_1 = e^{-z} $ とし、$ \rho $ と $ G^{(2)}_2 $ を $ z $ の関数として表現する。
• EKLSモデルにおいて$ \epsilon = -8/17 $ の場合の数値シミュレーションと照合することで、解析的結果の妥当性を検証し、$ \rho $ と $ G^{(2)}_2 $ において優れた一致を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZRPへの写像によって位置情報が失われるにもかかわらず、ZRPに対応する排他過程における空間相関を解析的に計算することは可能か？
• RQ2 対応するZRPの1ボックス重み$ f(n) $にのみ依存する排他過程の定常状態の行列積表現を構築することは可能か？
• RQ3 本手法は、RASEP や EKLS のような正確に解けるモデルにおける既知の相関関数を再現できるか。また、未調査の系について新たな予測を可能にするか？
• RQ4 EKLSモデルにおけるZRP写像の空間相関を捉える精度は、相転移付近においていかほどか？

主な発見

• 行列積表現により、EKLSモデルにおける2点相関関数$ G^{(2)}_1 $ と $ G^{(2)}_2 $ が正確に計算可能であり、$ G^{(2)}_1 = e^{-z} $ および $ G^{(2)}_2 = \frac{(1-e^{-z})(2+z)}{2ze^{z}} $ が得られ、$ z = -\ln G^{(2)}_1 $ を用いる。
• $ \epsilon = -8/17 $、$ L = 1000 $ のEKLSモデルの数値シミュレーションは、解析的予測と優れた一致を示し、ZRP写像による相関関数の妥当性を確認した。
• ZRP重みのブロックサイズ依存性が複雑であるため、直接計算が困難な排他過程における空間相関を計算可能にする。
• EKLSモデルにおいて$ b = 1 $ の場合、遷移率は$ u(n) = (n+1)/n $ となり、$ f(n) = 1/(n+1) $ となる。生成関数は$ F(w) = -\ln(1-w)/w $ となり、分配関数と相関関数の式が簡略化される。
• 本手法は、ZRPに対応する任意の排他過程に一般化可能であり、RASEP や EKLS における有効性が示された。また、トンクスガス や並列ダイナミクスを伴うRASEPへの応用も可能である。
• 標準的行列積アンザッツの制限を克服するため、ZRPの1ボックス重み$ f(n) $から行列を導出し、動的特徴に依存する代数的制約を回避する。