[論文レビュー] Particle with spin S=3/2 in Riemannian space-time

В. М. Редьков|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2011

Relativity and Gravitational Theory参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、曲がった時空におけるスピン3/2粒子のRarita-Schwinger場を検討し、曲率に依存する共変微分とスピン接続を含む一般化された波動方程式を導出する。質量零のスピン3/2場において、リッチテンソルが $ R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}Rg_{\alpha\beta} = 0 $ を満たす場合、ゲージ的対称性が存在し、その領域では物理的でない自由度が除去され、整合性が保証される。

ABSTRACT

Equations for 16-component vector-bispinor field, originated from Rarita-Schwinger Lagrangian for spin 3/2 field extended to Riemannian space-time are investigated. Additional general covariant constrains for the field are produced, which for some space-time models greatly simplify original wave equation. Peculiarities in description of the massless spin 3/2 field are specified. In the flat Minkowski space for massless case there exist gauge invariance of the main wave equation, which reduces to possibility to produce a whole class of trivial solutions in the the form of 4-gradient of arbitrary (gauge) bispinor function, Ψ^{0}_{c} = \partial_{c} ψ. Generalization of that property for Riemannian model is performed; it is shown that in general covariant case solutions of the gradient type Ψ^{0}_β = ( abla_β + Γ_β)Ψexist in space-time regions where the Ricci tensor obeys an identity R_{αβ} - {1 \over 2} R g_{αβ} = 0.

研究の動機と目的

• 一般相対性の枠組みで、曲率と torsion を持つ一般リーマン時空へのスピン3/2場のRarita-Schwinger形式の拡張。
• 一般共変な枠組みにおいて、スピン3/2粒子の質量付きおよび質量零の場の整合的な場の運動方程式を導出すること。
• 質量零のスピン3/2場がゲージ不変性を示す条件を特定し、物理的整合性を保証すること。
• 特定の時空モデルにおいて、一般化された制約を用いて元の16成分場の運動方程式を簡略化すること。

提案手法

• 曲がった時空のディラック行列とスピン接続を用いて、16成分のベクトル・バイスピンルス場の一般共変なラグランジアンを構築する。
• バリエーショナル原理を用いて、Rarita-Schwingerラグランジアンから場の運動方程式を導出し、共変微分 $ D_{\alpha} = \nabla_{\alpha} + \Gamma_{\alpha} - ieA_{\alpha} $ を組み込む。
• ディラック行列のスピンルス表現を適用し、$ \gamma^\alpha(x) $、$ \Gamma_\alpha(x) $、およびスピン接続に関する恒等式を用いて方程式を簡略化する。
• 場に $ S^\beta_\alpha = \delta^\beta_\alpha - \frac{1}{3}\gamma_\alpha(x)\gamma^\beta(x) $ を用いた類似変換を施し、方程式の構造を対角化する。
• 波動方程式をレヴィ・チビタテンソルおよび双対ガンマ行列 $ \gamma^5 $ を含む形に変換し、$ \gamma^5 \epsilon^{\nu\sigma\mu}_\rho \gamma_\mu (iD_\nu - \frac{mc}{2\hbar}\gamma_\nu) \tilde{\Psi}_\sigma = 0 $ を得る。
• 質量零極限における勾配型解 $ \tilde{\Psi}^0_\beta = (\nabla_\beta + \Gamma_\beta)\Psi $ の存在を解析し、リッチテンソルに曲率条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン時空における質量零のスピン3/2場が、$ \tilde{\Psi}^0_\beta = (\nabla_\beta + \Gamma_\beta)\Psi $ の形のゲージ的解をもつための条件は何か？
• RQ2 Rarita-Schwingerラグランジアンは、整合性を保ちつつ、物理的でない自由度を排除する形で、どのように曲がった時空に一般化されるか？
• RQ3 リッチテンソルは、質量零のスピン3/2場の物理的でゲージ不変な解の存在を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 16成分のベクトル・バイスピンルス場は、類似変換によって簡略化可能であり、より明確な力学的構造を明らかにできるか？
• RQ5 質量零のスピン3/2場が病理的自由度を含まないことを保証するための時空曲率の幾何的条件は何か？

主な発見

• 質量零のスピン3/2場が $ \tilde{\Psi}^0_\beta = (\nabla_\beta + \Gamma_\beta)\Psi $ の形の解をもつのは、リッチテンソルが $ R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}Rg_{\alpha\beta} = 0 $ を満たす場合に限る。
• この条件により、スカラー・バイスピンルスに作用するときの交換子 $ [D_\nu, D_\sigma] $ が消えることが保証され、勾配解が波動方程式を満たすために不可欠である。
• 得られた条件 $ R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}Rg_{\alpha\beta} = 0 $ は、アインシュタインテンソルの消滅に等しく、このような解は時空の真空中に類似した領域に存在する。
• 質量付きの場合、曲率およびゲージ結合を含む一般化されたRarita-Schwingerラグランジアンから場の運動方程式が導かれ、スピンルスとベクトル添え字の間の非自明な結合を有する16成分系が得られる。
• 変換 $ S^\beta_\alpha = \delta^\beta_\alpha - \frac{1}{3}\gamma_\alpha(x)\gamma^\beta(x) $ を用いることで、場の運動方程式はレヴィ・チビタテンソルおよび双対ガンマ行列を含む形に簡略化される。
• 質量零の場合の波動方程式の最終形は $ i\gamma^5 \epsilon^{\nu\sigma\mu}_\rho \gamma_\mu (\nabla_\nu + \Gamma_\nu) \tilde{\Psi}_\sigma = 0 $ であり、導出された条件のもとで明示的なゲージ的構造を示す。