[論文レビュー] Particular boundary condition ensures that a fermion in d=1+5, compactified on a finite disk, manifests in d=1+3 as massless spinor with a charge 1/2, mass protected and chirally coupled to the gauge field

N. S. Mankoč Borštnik, H. B. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2007

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限なディスク上にコンパクト化された (1+5) 次元のカーラーツ＝クライン理論において、4次元時空に質量ゼロのスピン1/2をもつ1つのフェルミオンが出現する境界条件を提案している。このフェルミオンは質量生成から保護され、ゲージ場とへリカルに結合する。このメカニズムにより、高次元スペクトルから1つのヘリシティ状態と1つの電荷が選択され、コンパクト化に伴う不要な質量ゼロの状態や二重カウントの問題が解決される。

ABSTRACT

The genuine Kaluza-Klein-like theories--with no fields in addition to gravity--have difficulties with the existence of massless spinors after the compactification of some space dimensions \cite{witten}. We proposed in previous paper a boundary condition for spinors in d=(1+5) compactified on a flat disk that ensures masslessness of spinors (with all positive half integer charges) in d=(1+3) as well as their chiral coupling to the corresponding background gauge gravitational field. In this paper we study the same toy model, proposing a boundary condition allowing a massless spinor of one handedness and only one charge (1/2) and infinitely many massive spinors of the same charge, allowing disc to be curved. We define the operator of momentum to be Hermitean on the vector space of spinor states--the solutions on a disc with the boundary.

研究の動機と目的

• 高次元重力のみの理論における標準的なカーラーツ＝クラインコンパクト化におけるスピン1/2のフェルミオン二重化問題とヘリカル結合の欠如を解決すること。
• d=1+5において有限なディスク上にコンパクト化した後、4次元で1つのヘリカルフェルミオン状態（電荷1/2）のみが生存することを保証すること。
• 出現した4次元フェルミオンが放射修正から質量生成を受けるのを防ぐ質量保護機構を確立すること。
• 境界条件によって制約されたスピンゼロヒルベルト空間上でのエルミート型運動量演算子を定義すること。
• コンパクト化された次元が曲がっている場合にも、ゼロモードフェルミオンの望ましい物理的性質を保つようにモデルを一般化すること。

提案手法

• コンパクト化されたディスクの境界におけるスピンゼロ状態を射影するための共変境界条件 $\hat{\cal R} = \frac{1}{2}(1 - i n^{(\rho)}_a n^{(\phi)}_b \gamma^a \gamma^b)$ を導入する。
• 境界条件 $\hat{\cal R} \psi|_{\text{wall}} = 0$ を適用して、高次元スペクトルから1つのヘリシティ状態（左巻き）と1つの電荷（1/2）のみを選択する。
• 運動量演算子 $p_{0a} = f^\alpha_a p_{0\alpha}$ を構成し、$p_{0\alpha} = p_\alpha - \frac{1}{2} S^{cd} \omega_{cda}$ により、スピンゼロ状態空間上でエルミート性を保証する。
• 曲がった背景におけるスピンゼロのダイナミクスを記述するためのラグランジアン密度 $\mathcal{L} = \psi^\dagger \gamma^0 \gamma^a \left[ E(p_a - \frac{1}{2} S^{cd} \omega_{cda}) + \frac{1}{2} \{p_\alpha, E f^\alpha_a \}_{-} \right] \psi$ を導出する。
• 平坦空間の結果を一般化するために、$f^{\sigma}_s = \delta^\sigma_s f(\rho)$ を許容することで、曲がったコンパクト化ディスクの状況を考察する。
• 境界を通過する電流が、質量ゼロおよび質量ありの両モードに対してゼロになることを示し、境界条件の整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限なディスク上にコンパクト化した (1+5) 次元のワイルスピンゼロのスペクトルから、4次元で電荷1/2のヘリカルフェルミオンが1つだけ選ばれる方法は何か？
• RQ2 カーラーツ＝クライン的理論において、ゼロモードフェルミオンが質量ゼロのままであり、量子補正から質量生成を受けるのを防ぐ境界条件は何か？
• RQ3 非自明な境界条件によって制約されたスピンゼロヒルベルト空間上に、エルミート型運動量演算子を定義できるか？
• RQ4 出現した4次元フェルミオンのヘリカルなゲージ場への結合は、コンパクト化手順からどのように生じるか？
• RQ5 コンパクト化された次元が曲がっている場合でも、ゼロモードの質量ゼロ性、ヘリシティ性、電荷保護性を保つようにモデルを一般化できるか？

主な発見

• 提案された境界条件 $\hat{\cal R} \psi|_{\text{wall}} = 0$ は、(1+5) 次元スペクトルから正確に1つのヘリカルフェルミオン状態（左巻き）と1つの電荷（1/2）を選択する。
• ゼロモードフェルミオンは質量ゼロであり、境界条件の位相的・代数的構造のおかげで質量生成から保護されている。
• 出現したフェルミオンは、標準模型が要請するように、4次元でゲージ場とヘリカルに結合しており、追加のヘリカル状態を導入しない。
• 境界条件によって制約されたスピンゼロヒルベルト空間上に定義された運動量演算子はエルミートであり、ユニタリな時間発展と一貫した量子化を保証する。
• 境界を通過する電流が、すべての解（質量ゼロおよび質量あり）に対してゼロになるため、境界条件の整合性が確認された。
• モデルは曲がったコンパクト化された次元へ一般化可能であり、ディスクが平坦でなくてもゼロモードの主要な物理的性質が保たれる。