[論文レビュー] Partition Function of Spacetime

Jarmo Mäkelä|ArXiv.org|Oct 27, 2008

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、プランクスケールの量子ブラックホールのグラフとしての時空の微視的モデルを提案し、加速する空間的表面の明示的分配関数を導出する。このモデルにより、アインシュタインの場の運動方程式は、熱エネルギーを物理的エネルギーと解釈することで、宇宙定数がゼロの状態で再現され、ユニウの効果およびホーキング効果はユニウ温度における相転移の結果として得られる。

ABSTRACT

We consider a microscopic model of spacetime, where spacetime is assumed to be a specific graph with Planck size quantum black holes on its vertices. As a thermodynamical system under consideration we take a certain uniformly accelerating, spacelike two-surface of spacetime which we call, for the sake of brevity and simplicity, as {\it acceleration surface}. Using our model we manage to obtain an explicit and surprisingly simple expression for the partition function of an acceleration surface. Our partition function implies, among other things, the Unruh and the Hawking effects. It turns out that the Unruh and the Hawking effects are consequences of a specific phase transition, which takes place in spacetime, when the temperature of spacetime equals, from the point of view of an observer at rest with respect to an acceleration surface, to the Unruh temperature measured by that observer. When constructing the partition function of an acceleration surface we are forced to introduce a quantity which plays the role of thermal energy of the surface. An interpretation of that quantity as energy in a normal manner yields Einstein's field equation with a vanishing cosmological constant for general matter fields.

研究の動機と目的

• プランクスケールの量子ブラックホールに基づく時空の微視的モデルを構築すること。
• 加速する空間的表面（加速度表面）の分配関数の明示的表現を導出すること。
• ユニウおよびホーキング効果が、ユニウ温度における特定の相転移から生じることを示すこと。
• 導出された熱エネルギー量を物理的エネルギーと解釈することで、宇宙定数がゼロのアインシュタインの場の運動方程式が得られることを示すこと。

提案手法

• 頂点にプランクサイズの量子ブラックホールを配置したグラフとして時空をモデル化し、各ブラックホールが離散的ホライズン面積スペクトル $ A_n = (n + \frac{1}{2})32\pi\ell_{\text{Pl}}^2 $ を持つこととする。
• 一様に加速する空間的2次元表面としての加速度表面を定義し、これを熱力学的系として扱う。
• 統計力学を用いて分配関数 $ Z(\beta) $ を構築する。ここで $ \beta $ は逆温度を表す。
• ユニウ温度に一致する臨界温度 $ T_C $ を特定し、この温度で系に相転移が発生することを示す。
• 組み合わせ的合計技法および母関数を用いて分配関数を評価し、$ q = 2^{-\beta T_C} $ の関数として閉形式の表現を得る。
• $ T = T_C $ の近傍でテイラー展開を適用し、エネルギーおよびその微分を含む熱力学的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プランクスケールの量子ブラックホールから構成される時空の微視的モデルは、ユニウ効果およびホーキング効果のような巨視的重力効果を再現できるか？
• RQ2 このようなモデルにおける加速する空間的表面の分配関数の明示的形は何か？
• RQ3 ユニウ温度で相転移が発生するか。もし発生するならば、それは重力的現象の出現とどのように関係するか？
• RQ4 導出された熱エネルギー概念が、宇宙定数がゼロのアインシュタインの場の運動方程式にどのように導くか？
• RQ5 臨界温度 $ T_C $ の近傍における系のエネルギーの挙動は何か。熱力学的安定性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 分配関数は $ Z(\beta) = \frac{1}{2^{\beta T_C} - 2}\left[1 - \left(\frac{1}{2^{\beta T_C} - 1}\right)^{N+1}\right] $ として導出され、$ \beta \neq \frac{1}{T_C} $ の場合に有効であり、$ \beta = \frac{1}{T_C} $ のとき $ Z(\beta) = N+1 $ となる。
• 臨界温度 $ T_C $ において、自由度1つあたりの平均エネルギーは $ \bar{E}(1/T_C) = T_C \ln 2 $ であり、これは相転移と整合的である。
• $ T_C $ における温度微分によるエネルギーの導関数は $ \frac{d\bar{E}}{dT}\big|_{T=T_C} = \frac{\ln^2 2}{6}N + \mathcal{O}(1) $ とスケーリングされ、$ T_C $ の近傍で比熱が発散することを示唆している。
• ユニウおよびホーキング効果は、局所温度がユニウ温度に一致するときの時空における相転移から生じることを示した。
• 導出された熱エネルギーを物理的エネルギーと解釈することで、宇宙定数がゼロのアインシュタインの場の運動方程式が得られた。
• 本モデルは、離散的量子枠組みにおいてホライズン面積とエントロピーを結びつける、ベケンシュタイン＝ホーキングのエントロピー則に類似した式を再現した。